高中数学教材一共有几本，高中数学教材一共有几本人教版

　　高中数学教材一共有两本，一本是人民教育出版社出版的《数学》课本，一本是人教社出版的《数学教程》。

　　1、数学教材一般包括必修部分和选修部分：

　　2、选修1:集合与函数3、向量：空间与图形4、不等式与方程5、导数：函数的中值定理6、指数和对数7、二次曲线y= sin (s)8、圆锥曲线9、向量九。

　　3、教材的内容主要以例题和习题为主，有些地区也有一些补充题目，这些练习题一般由老师出。

　　一般教材每章都有一套练习题。

　　4、教材的习题一般是老师上课时布置做的作业，或者自己找一些相关的题目做。

　　5.当然，如果是参加补习班的话，就不需要看这些书了；因为教材还是需要自己去找，而且是老师出的习题或者作业更好。

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一、2018版数学必修一学案(30份)人教课标版(精品教案)

2018版高中数学必修一学案(30份)人教课标版(精品教案)
§集合
集合的含义与表示
第课时集合的含义
学习目标.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).了解元素与集合间的“从属关系”(重点).记住常用数集的表示符号并会应用．
预习教材，完成下面问题：
知识点元素与集合的概念
()元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，，，…表示．
()集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母，，，…表示．
()集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
()集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)
()漂亮的花可以组成集合．()
()由方程－＝和－＝的根组成的集合中有个元素．()
()元素和元素组成的集合是不相等的．()
提示()ד漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
()×由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有个元素．
()×集合中的元素具有无序性，所以元素和元素组成的集合是同一集合．
知识点元素与集合的关系
关系概念记法读法属于如果是集合的元素，就说属于集合∈属于集合不属于如果不是集合中的元素，就说不属于集合?不属于集合
【预习评价】
思考设集合表示“～以内的所有素数”，这两个元素与集合有什么关系？如何用数学语言表示？
提示是集合中的元素，即属于集合，记作∈；不是集合中的元素，即不属于集合，记作?.
知识点常用数集及表示符号
数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号或＋
【预习评价】
()若是中的元素，但不是中的元素，则可以是()
．．－
．．
()若，且∈，则＝.
解析()由选项知是实数，但不是有理数，故选．
()大于且小于的整数为和，故＝或.
答案()()或
题型一集合的判定问题
【例】下列每组对象能否构成一个集合：
()我们班的所有高个子同学；
()不超过的非负数；
()直角坐标平面内第一象限的一些点；
()的近似值的全体．
解()“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．()任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过的非负数”，即“≤≤20”与“＞或＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过的非负数”能构成集合；()“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；()“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
规律方法判断一组对象能否构成集合的依据
【训练】给出下列说法：
①中国所有的直辖市可以构成一个集合；
②高一()班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于且小于的所有整数不能构成集合．
其中正确的有(填序号)．
解析②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．
答案①③
题型二元素与集合的关系
【例】()给出下列关系：①∈；②?；③－?；④－∈；⑤?.其中正确的个数为()
．．2．．
()集合中的元素满足∈，∈，则集合中的元素为．
解析()①②正确；③④⑤不正确．
()∵∈，∈，∴当＝时，＝∈，∴＝满足题意；当＝时，＝∈，∴＝满足题意；当＝时，＝∈，∴＝满足题意，当时，不满足题意，所以集合中的元素为.
答案()()
规律方法判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．
【训练】设集合是由不小于的数组成的集合，＝，则下列关系中正确的是()
．∈．?．＝．≠
解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵，∴?.
答案
典例迁移题型三集合中元素的特性
【例】已知集合含有两个元素－和2a－，若－是集合中的元素，试求实数的值．
解因为－是集合中的元素，
所以－＝－或－＝2a－.
若－＝－，则＝，
此时集合含有两个元素－，－，符合要求；
若－＝2a－，则＝－，
此时集合中含有两个元素－，－，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或－.
【迁移】(变换条件)若把本例中的条件“－是集合中的元素”去掉，求的取值范围．
解由集合元素的互异性知－≠2a－，解得≠－，故实数的取值范围是≠－.
【迁移】(变换条件)若本例中的集合含有两个元素和，且∈，则实数的值是什么？
解由∈可知，当＝时，此时＝，与集合元素的互异性矛盾，所以≠；当＝时，＝或(舍去)．综上可知＝.
规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
()策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．
()注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
课堂达标
．下列能构成集合的是()
．中央电视台著名节目主持人
．我市跑得快的汽车
．上海市所有的中学生
．香港的高楼
解析，，中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案
．由形如＝＋，∈的数组成集合，则下列表示正确的是()
．－∈．－∈．．
解析－＝×(－)＋，故选．
答案
．下列三个命题：
①集合中最小的数是；
②－?，则∈；
③∈，∈，则＋的最小值是.
其中正确命题的个数是()
．．1．．
解析根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若＝，则－?且?，显然②不正确．
答案
．已知集合中的元素满足≥，若?，则实数的取值范围是．
解析由题意不满足不等式≥，即.
答案
．若集合是由所有形如3a＋(∈，∈)的数组成，判断－＋是不是集合中的元素？
解因为－∈且∈，所以－＋是形如3a＋(∈，∈)的数，即－＋是集合中的元素．
课堂小结
．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
．元素与集合之间只有两种关系：∈，?.
．集合中元素的三个特性
()确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
()互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
()无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素，，与由元素，，组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．
面对着学习，你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚持下去，因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。生活中处处都有语文，更不缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.

二、数学

总事件， 分事件，求概率。
且或非， 原逆否，断真假。
线线面面，几何图形，三维空间。
X Y原点，函数图形，千变万化。
不等方程，相互联立，区域求解。

三、人教版数学《圆的标准方程》

课题：“圆的标准方程”
教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”的第一课时
一、教材分析
在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用同时，
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。
依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。
二、学情分析
此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r（尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。
三、教学目标
根据以上分析，制定以下教学目标：
知识目标：
1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.
能力目标：
1．通过圆的标准方程的探究过程使学生对用代数方法解决几何问题的一般思维过程与模式加深认识；
2．通过例题分析和练习巩固对用待定系数法求解曲线方程的基本步骤与思维过程的理解和运用。
3.通过运用多种方法对例题进行分析使学生掌握几何性质（切线性质）对优化计算的作用，加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
情感目标：
1、通过对圆的标准方程的学习，让学生感受数学的美（形态美、和谐美）；
2、通过运用圆的知识解决实际问题的学习，让学生体会理论来源于实践。
四、教学重点．难点
教学重点：圆的标准方程模型的探索、标准方程的求解及其应用.
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程
五、教法分析
为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题其基本教学模式是：
本节课的难点是运用待定系数法求圆的标准方程，对学生而言最难的地方就在于方法的选择。所以我准备在例题的讲解让学生对几种方法进行对比，然后让他们通过自己的亲身感受来体会各中的优劣，他们根据自己的实际情况来选择适合自己的方法。
六、学法分析
基础教育课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从复习引入→情景创设→深入研究→获得新知→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。
七、教学活动设计
（一）动画引入，创设情境
【设计意图】
由我国古老而神秘的太极图引入课题
让学生感受圆优美的几何属性和我国
博大精深的古代文化，激发学生的学
习热情。
师：太极八卦图是中国古老的文化科学遗产，是中国古代劳动人民智慧文明的结晶。它不但在古代为人民建树了不可磨灭的功勋，就是在现代也做出极重大的贡献。1930年一月美国天文学家汤保发现了太阳系的第九颗行星冥王星。旋即有人提出，太阳系有没有第十颗行星呢？由于冥王星发现不久，观测数据还不精确，预测第十颗行星的努力接连遭到了失败。当时在法国勤工俭学的只有二十七岁的中国人刘子华，他发现太阳系的各星体与八卦的卦位，存在着对应关系。他依据这个关系，利用天文参数进行计算，算出了第十颗行星的平均轨道运行速度为每秒二公里，离太阳的平均距离为74亿公里，按照希腊神话命名原则，在冥王星后面的叫做“木王星”。刘子华把自己的预测，写成了题为“八卦宇宙论与现代天文”的论文，交给了法国巴黎大学，作为考取博士学位的论文。论文获得了一致的赞赏，1938年正式授予刘子华法国国家博士学位。这是中国科学家在现代运用太极八卦图，做出的震动世界的伟大贡献。
师：今天老师就将和同学一起用代数
的方法来研究圆这种优美的曲线。
【给出标题】圆的标准方程
（二）提出问题，尝试探究
问题一：已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求这个圆的方程。
师：清同学们利用所学方法解决问题一。
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方案一：学生处理得很好，让学生来讲。
方案二：学生不能处理，则将题目变一下，再让学生处理
问题变式：一个动点到原点的距离等于5，求这个点的轨迹方程。
【设计意图】
充分调动学生的积极性和主动性，从这里也可以进一步了解学生的实际情况，对后续内容的处理会更贴切。
师：同学们是用什么方法求出圆的方程的呢？
生：用的是解析法
师：这个方法的一般步骤是：建系、设点、列式、化简四步曲。
【设计意图】回顾复习用轨迹思想求曲线方程的一般步骤。
师：若半径发生变化，如半径为6，圆心在原点则圆的方程又是怎样的？
生：x2+y2=36
师：一般的，半径为r，圆心在原点的圆的方程形式是怎样的？
生：x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2表示是特殊位置的圆，称为原点圆，那么一般地，圆心在任意一点C（a,b）点，半径为r圆的方程又是怎样的？
【设计意图】遵循循序渐进的原则，从特殊到一般，逐步将问题深入。
（三）特殊到一般，建立方程模型
问题二：设圆心为C，半径为，求圆的方程。
【学生活动】探究圆的方程。
【教师预设】
解：设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2
【设计说明】再次熟练解析法，得出一般的圆的标准方程
师：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。特别地，当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
从这种形式中可直接得到圆心和半径的信息，反之知道圆心和半径也就可以直接写出圆的标准方程，所以我们在求圆的标准方程时，可先设出圆的标准方程，再想办法求出未知系数，这种方法就是待定系数法。
（四）应用举例
例1、根据圆的方程写出圆心和半径
（1）；（2）．
圆心(2,3)，半径圆心(-2,0)，半径2
例2、写出下列各圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3；x2+y2=9
（2）圆心在，半径为；(x-3)2+(y-4)2=5
（3）经过点，圆心在点．(x-8)2+(y＋3)2=25
【练习】已知点A(-4，-5），B(6，-1)，求以AB为直径的圆的方程.(x-1)2+(y+3)2=29
【设计意图】基础练习，巩固、加深对圆的标准方程的理解。
例题3、求以为圆心，并且和直线相切的圆的标准方程.
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方法一：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
方法二：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
由直线3x-4y-7=0与圆相切，所以联列方程组有且只有一组解
即联列方程组消去y得：25x2-146x+377-16r2=0
由△＝1462－4×25×(377-16r2)＝0，解得：r＝
因此，所求的圆的方程是
【学生可能出现问题】确定半径有困难，注意引导学生观察图象，
【设计意图】熟悉待定系数法，初步体会运用圆的几何性质（切线性质）对优化计算的作用，借此强化数形结合思想。
例题4．已知圆的方程为，设直线与圆相切于点，求直线的方程．
师：你打算怎样求过M的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师：这仍然是待定系数法的思想，关键是斜率怎样求？
【学生活动】探求切线方程
【教师预设】
方法一：设所求直线的方程为y－4＝k（x－3）即
kx－y－3k＋4＝0
由题知：圆心到切线的距离等于半径，即
，解得：
∴过点M的切线方程为：，即
方法二：∵点M（3，4）在圆x2＋y2＝25上，
∴半径OM与切线l垂直，即
∵∴
∴过点M的切线方程为：，即
【设计意图】运用圆的标准方程解决切线问题，进一步的运用圆的性质和待定系数法。
【备用】圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0
师：注意观察，在切点坐标与切线方程之间存在密切的关系，你发现了吗？
（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想太迷人了，那么可否给出证明？
生：。。。。。。【思考】
师：这个问题作为思考题留给同学们下课后独立思考解决好吗？
生：好
【设计意图】让学生从特例中观测、总结出一般化的结论，培养学生观察概括的能力，让学生体验发现规律的成功感觉，有利于激发学习热情。
【根据实际情况选用】
例题5：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）．
【设计说明】引导学生分析，共同完成解答。师生分析：建系；设圆的标准方程（待定系数）；求系数（求出圆的标准方程）；利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立坐标系。则圆心在Y轴上，设为（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面用待定系数法求b和r的值：
P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5,r2=14.52
圆的方程为x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取y0得：
≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
【设计意图】将所学的知识用来解决实际问题，提高知识的运用能力，让学生体会数学源于生活，又反过来为我们解决许多生活中的问题，提高他们对数学的认识和兴趣。
（五）反馈训练
1．求圆x2＋y2＝13过点（-2，3）的切线方程.-2x+3y=13
2．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。(x+1)2+(y+5)2=1
3．求圆心在直线上，且与直线切于点（2，-1）的圆的标准方程
解：设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆与直线相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于的直线：上，
，即圆心为C（1，-2），=,
∴所求圆的方程为：
【设计意图】巩固、测试本节课的目标。
【备用题】
求圆心在y＝－x上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的标准方程。
解：设圆心坐标为()，则所求圆的方程为,
∵圆心在上，∴①
又∵圆过（2，0），（0，-4）∴②
③
由①②③联立方程组，可得
∴所求圆的方程为
【设计意图】如果学生的基础很好、时间允许的情况可以使用，以备不时之需。
（六）课堂小结
本堂课我们利用解析法探索了圆的标准方程，进而用待定系数法求解圆的标准方程，在这个过程中我们得到了以下结论：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
(2)求圆的标准方程的方法：待定系数法；找出圆心和半径
(3)已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
（七）课后作业：
巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
思维拓展型作业：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？
2、方程：的曲线是什么图形？
3、已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合
即,
整理得：
所求曲线方程即为：
将其左边配方，得
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示
圆的标准方程
方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。问题一、…………例2、…………
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
注意：问题二、…………例3、…………
①从标准方程中我们可以直接得出圆心坐标和半径
②要确定圆的标准方程只需要确定a，b，r三个独立变量就可以了问题三、…………例4、
小结：
①圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：练习
当圆心在原点时，圆的标准方程为：例1、…………作业
②求圆的方程的方法：待定系数法（找出圆心和半径）。
（八）板书设计
八、教学（后）反思
1、教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用（待定系数法求圆的标准方程）。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，从特殊一般引导学生探究获得圆的标准方程，让学生体会这种数学的探究方法。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，让学生自己体会各种方法的优劣，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用“引导探究”型教学模式把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．感受了数学的美、培养了兴趣、增强了信心。
2、教学预设与生成的差距与原因
本节课上下来基本上完成了我所预设的教学内容，当然有些地方未能完全实现自己的想法。如：过圆上定点的切线方程的猜想的证明，本来准备让学生自己完成的；例题的设计本来是准备围绕待定系数法这一重要的数学思想方法展开，但因为时间关系只能一带而过；最后的课堂小结本来准备让学生自己将本节课的探究过程进行及所得结论回顾等都没有得以实现。我反思整节课发现问题出在前面的几个环节的节奏把握上，具体的说：引入部分说得太多，实际上可以用多媒体演示出来让学生看，老师只提一下就行了；圆的标准方程的探索过程比较简单，不需要举这么多的例子，实际上可以将四个例子浓缩为两个：“圆心确定（0，0）、半径确定2”；“圆心任意（a，b），半径任意r”即可。我想如果前面紧凑一点，那么后面自己的很多想法就能得以体现，这堂课的效果会更理想的。
3、感受最深事件（成功与失败）的缘由与启示
在这次课堂大赛中让我学习到了许多东西，如：如何写教学设计。让我感受最深的是“向课堂40分钟要效率的关键在于课堂节奏的把握”，一节课你在课前准备得再怎么充分，如果课堂上你没有把握好节奏，那么所有的准备可能都是在做无用功。
4、对某些问题的进一步认识与总结
结合这次赛课的自身体会和听另一位老师的课的感受，我想自己对“学法指导”有了进一步的认识，我感到“学法指导”应该融入课堂的各个环节，如：课堂上该怎么过手训练；怎么与同学、老师进行交流；该怎么去探索发现新知；一堂课所学知识与方法该怎么来总结记忆等。在课堂上给予学生好的“学法指导”可以大大提高课堂效率。
5、有价值的待研究的问题
结合准备阶段的想法、上课的感受及效果、课后评委老师的指导，我认为“如何发挥例习题的作用，以使教学目标得以达成”是一个有价值的待研究的问题。关于这个问题我会在今后的教学中不断总结、提炼，我想一定会的我的教学带来很大的帮助的。
就本节课为例，因为圆的标准方程的概念不难，所以本节课的重点应该放在夯实基础上。为此目的，我们可以在原例1的前面再加一个判定方程是否为圆的标准方程，然后再用例1，例2，……。这样可以更好的让学生理解和掌握圆的标准方程的结构特征、性质特征及其运用。

四、(完整word版)数学必修1-5

(完整word版)高中数学必修1-5

§1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．

知识点一集合的概念

元素与集合的概念

(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．

集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．

(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．

元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．

知识点二元素与集合的关系

思考1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案1是整数；不是整数．没有．

梳理元素与集合的关系

关系语言描述记法读法属于a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A的元素a?Aa不属于集合A

知识点三元素的三个特性

思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？

答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．

梳理集合元素的三个特性

元素意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居其一互异性集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b无序性集合中的元素是没有顺序的

知识点四集合的分类及常用数集

1．集合的分类

集合

2．常用数集

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或NZQR

1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)

2．0∈N但0?N＋.(√)

3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(×)

类型一判断给定的对象能否构成集合

例1考察下列每组对象能否构成一个集合．

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)的近似值的全体．

解(1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()

A．数学必修1课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．直角坐标平面内第一象限的一些点

D．所有小的正数

答案B

解析A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合．

类型二元素与集合的关系

命题角度1判定元素与集合的关系

例2给出下列关系：

①∈R；②?Q；③－3?N；

④－∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案B

解析是实数，①对；

不是有理数，②对；

－3＝3是自然数，③错；

－＝为无理数，④错；

0是自然数，⑤错．

故选B.

反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．

跟踪训练2用符号“∈”或“?”填空．

－________R；

－3________Q；

－1________N；

π________Z.

答案∈∈??

命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理

例3集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

答案0,1,2

解析∵x∈N，∈N，

∴0≤x≤2且x∈N.

当x＝0时，＝＝2∈N；

当x＝1时，＝＝3∈N；

当x＝2时，＝＝6∈N.

∴A中的元素有0,1,2.

反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．

跟踪训练3已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R，若1?A,2∈A，则()

A．a－4B．a≤－2

C．－4a－2D．－4a≤－2

答案D

解析∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.

又∵2∈A，∴2×2＋a0，a－4，

∴－4a≤－2.

类型三元素的三个特性的应用

例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.

(1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？

考点元素与集合的关系

题点由元素与集合的关系求参数的值

解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.

经检验，0与－1都符合要求．

∴a＝0或－1.

(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.

(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0.

若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．

若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．

故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．

反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．

跟踪训练4已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．

答案1

解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.

当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．

当a2－1＝0时，a＝±1.

a＝－1(舍)，∴a＝1.

此时，A＝{2,0}，符合题意．

1．下列给出的对象中，能组成集合的是()

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．方程x2－1＝0的实数根

答案D

2．下面说法正确的是()

A．所有在N中的元素都在N＋中

B．所有不在N＋中的数都在Z中

C．所有不在Q中的实数都在R中

D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

答案C

3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案C

4．下列结论不正确的是()

A．0∈NB.?QC．0?QD．－1∈Z

答案C

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

答案B

解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.

3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．

课时对点练一、选择题

1．已知集合A由x1的数构成，则有()

A．3∈AB．1∈A

C．0∈AD．－1?A

答案C

解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则()

A．0∈AB．a＝A

C．a∈AD．a?A

考点元素与集合的关系

题点判断元素与集合的关系

答案C

解析∵A中只有一个元素a且a≠0，

∴0?A，选项A错．

∵a为元素，A为集合，故B错误．

由已知选C.

3．由实数x，－x，x，，－所组成的集合，最多含()

A．2个元素B．3个元素

C．4个元素D．5个元素

答案A

解析由于＝x，－＝－x，并且x，－x，x之中总有两个相等，所以最多含2个元素．

4．已知x，y为非零实数，代数式＋所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()

A．0?MB．1∈M

C．－2?MD．2∈M

答案D

解析①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.

5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()

A．－1?AB．－11∈A

C．3k2－1∈AD．－34?A

答案C

解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.

令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；

∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.

6．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则()

A．a∈AB．a2∈A

C.?AD．a＋1?A

考点元素与集合的关系

题点判断元素与集合的关系

答案A

解析a＝＋＋＝45，∴a∈A.

a＋1＋＋1＝5，∴a＋1∈A.

a2＝()2＋2·＋()2＝5＋25.∴a2?A.

＝＝＝－5.

∴∈A.

故选A.

二、填空题

7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．

答案1

解析易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．

8．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；②D∈/Q；③0∈N＋；④－4D∈/N＋.

答案2

解析∵π是实数，是无理数，0不是正整数，－4＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.

9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.

答案6

解析∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.

10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是____________________．

答案x≠0,1,2，

解析由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.

11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____.

答案－1

解析∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，

∴0∈A.

又a≠0，∴＝0，则b＝0.

∴B＝{a，a2,0}．

∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.

由元素的互异性知，a＝－1，

∴a＋b＝－1.

三、解答题

12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．

解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－.

当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．

当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．

∴实数a的值为－.

13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；

(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

解(1)2∈A，则∈A，

即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，

即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.

(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.

(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，(a≠1，且a≠0)，且三个数的乘积为－1.

证明如下：

若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，

所以又有＝∈A且≠1，

进而有＝a∈A.

又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．

同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素，

它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.

四、探究与拓展

14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是()

A．{1,2,3}B．{1,2}

C．{0,1}D．{0,1,2}

答案B

解析由题意知：

解得

∴集合A＝{0,1,2}，

则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.

故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.

15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：

(1)3∈A；

(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.

证明(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，

得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.

(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．

①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，

所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，

五、四川省教材使用

四川省普通高中新课程实验教材选用核定结果

学科模块版本（出版社）选用市、州思想政治必修、选修IA和选修IB人民教育出版社全省21个市、州语文必修和选修IA人民教育出版社全省21个市、州选修IB人民教育出版社自贡、攀枝花、泸州、德阳、内江、资阳、眉山、广元、遂宁、南充、宜宾、巴中、广安、雅安、阿坝、凉山语文出版社成都、乐山、绵阳、达州、甘孜数学必修和选修IA人民教育出版社A全省21个市、州选修IB人民教育出版社A成都、自贡、攀枝花、泸州、德阳、内江、资阳、眉山、广元、遂宁、南充、宜宾、巴中、广安、雅安、阿坝、甘孜、凉山北京师范大学出版社乐山、绵阳、达州英语必修和选修IA外语教学与研究出版社全省21个市、州选修IB外语教学与研究出版社自贡、攀枝花、泸州、德阳、内江、资阳、乐山、眉山、广元、遂宁、南充、宜宾、巴中、广安、雅安、阿坝、凉山人民教育出版社成都、绵阳、达州、甘孜历史必修和选修IA人民出版社全省21个市、州选修IB人民出版社成都、自贡、攀枝花、泸州、德阳、资阳、眉山、广元、遂宁、南充、宜宾、巴中、广安、雅安、阿坝、甘孜、凉山人民教育出版社内江、乐山、绵阳、达州地理必修和选修IA人民教育出版社全省21个市、州选修IB人民教育出版社成都、自贡、攀枝花、泸州、德阳、内江、资阳、乐山、眉山、广元、遂宁、南充、宜宾、达州、巴中、广安、雅安、阿坝、甘孜、凉山湖南教育出版社绵阳地理图册必修、选修IA和选修IB星球地图出版社全省21个市、州物理必修和选修IA教育科学出版社全省21个市、州选修IB教育科学出版社成都、自贡、攀枝花、泸州、德阳、内江、资阳、眉山、广元、遂宁、南充、宜宾、达州、巴中、广安、雅安、阿坝、甘孜、凉山人民教育出版社乐山、绵阳

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六、18学年数学不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版选修4

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§3平均值不等式
[对应学生用书P12]
1．定理1
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号．
2．定理2(两个正数的平均值不等式)
对任意两个正数a，b，有≥，当且仅当a＝b时取“＝”号．
我们称为正数a与b的算术平均值，为正数a与b的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
3．定理3
对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
4．定理4(三个正数的平均值不等式)
对任意三个正数a，b，c，有≥，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
5．定理2,4的推广
一般地，对n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，数值，，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值．且有：≥.
当且仅当a1＝a2＝…＝an时，取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
1．如何利用求差法证明定理2?
提示：因为－＝≥0，
所以≥.
2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？
(1)＋≥2(a，b同号)；
(2)≤≤≤(a，b∈R＋)；
(3)ab≤2≤(a0，b0)．
提示：可以．
3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？
提示：“一正二定三相等”．
[对应学生用书P13]
用平均值不等式证明不等式
[例1](1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；
(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[思路点拨]本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．
[精解详析](1)a4＋b4≥2a2b2，
同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，
将以上三个不等式相加得：
a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，
即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当a＞0，b＞0时，a＋b≥2，
∴＋≥2＝2c.
同理：＋≥2＝2b，
＋≥2＝2a.
将以上三个不等式相加得：
2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．
若将本例(1)中a，b，c∈R，变为a，b，c∈R＋，
求证：a＋b＋c≥＋＋.
证明：∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2，
即a＋b＋c≥＋＋.
1．已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：
＋＋≥.
证明：因为abcd，
所以a－b0，b－c0，c－d0.
所以(a－d)
＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
≥3×3＝9.
即＋＋≥.
利用平均值不等式求最值
[例2](1)已知x0，y0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
(2)求函数y＝x2(1－5x)的最大值．
[思路点拨]本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x2(1－5x)改变成三项积x·x，再对它使用平均值不等式，即可获得所求．
[精解详析](1)法一：∵x0，y0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
法二：由＋＝1得(x－1)(y－9)＝9(定值)，
可知x1，y9，
而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10
＝16.
所以当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)y＝x2＝x·x，
∵0≤x≤，∴－2x≥0.
∴y≤3＝.
当且仅当x＝x＝－2x，即x＝时，ymax＝.
利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．
2．(新课标全国卷Ⅰ)若a0，b0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于46，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
3．已知x∈R＋，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)
＝x·x·(2－2x)×
≤3＝×＝.
当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．
此时，ymax＝.
本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力．
[考题印证]
1．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()
A.B.
C．5D．6
[命题立意]
本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力．
[自主尝试]
∵x＋3y＝5xy，
∴＋＝5，
∵x0，y0，∴(3x＋4y)＝＋＋9＋4≥2＋13＝25，
∴5(3x＋4y)≥25，
∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．
∴3x＋4y的最小值是5.
[答案]C
2．(新课标卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.
证明：(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
[命题立意]
本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力．
[自主尝试]
(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤，
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立．
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即
＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
[对应学生用书P15]
一、选择题
1．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是()
A．b＜2ab＜＜a2＋b2
B．2ab＜b＜a2＋b2＜
C．2ab＜a2＋b2＜b＜
D．2ab＜a2＋b2＜＜b
解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴0＜a＜b＜1，
∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b.
故2ab＜a2＋b2＜b＜.
答案：C
2．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的()
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()
A．3B．4
C.D.
解析：∵2xy＝x·(2y)≤2，
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
又x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.
当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
答案：B
4．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为()
A．(－∞，－9]B．(－9,9]
C．(－∞，9]D．[9，＋∞)
解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.
又x∈，∴t∈(0,1)．
不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，
而y＝(1－t)
＝17－≤17－2＝9，
当＝16t，即t＝时取等号，
因此原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：D
二、填空题
5．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．
解析：原式＝x2＋＋y2＋＋＋.
∵x＞0，y＞0，
∴原式≥2·＋2·＋2＝4，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
答案：4
6．已知a，b∈R＋，则≥________.
解析：
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋6＝9.
答案：9
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．
解析：∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴a0.∴c－＝0.∴c＝.
∴＋＝a2＋a＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
答案：4
8．x，y0，x＋y＝1，则的最小值为________．
解析：＝xy＋＋＋，
因为x，y0，且x＋y＝1?xy≤.(当且仅当x＝y＝时取等号)
以xy为整体，xy＋在(0，]上单调递减，
故xy＝，min＝，当且仅当x＝y＝时取得，
对＋≥2＝2，当且仅当x＝y＝时取得，
故的最小值为.
答案：
三、解答题
9．设a，b，x，y∈R，且有a2＋b2＝3，x2＋y2＝6，求ax＋by的最大值．
解：∵a2y2＋b2x2≥2aybx，
∴(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，
当且仅当ay＝bx时取等号．
∴ax＋by≤＝3，
当且仅当ax＝by且a2＋b2＝3且x2＋y2＝6时，等号成立．
10．(江苏高考)已知x0，y0，
证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
解：因为x0，y0，
所以1＋x＋y2≥30，
1＋x2＋y≥30，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
11．x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解：∵x＋y0，a0，b0且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2.
当且仅当＝时取等号，
此时(x＋y)min＝(＋)2＝18.
即a＋b＋2＝18.
又a＋b＝10，
联立
解得或

七、《简单教数学》读后感

本次暑期读书活动一共发了三本书，书一发下来，我的眼球就被这本书的题目吸引了。简单教数学，这不正是我们一线教师苦苦追寻的么？一有空闲时间就迫不及待的读，想从书中学到一些有效的方法，能够促进自己的教学。
翻开目录，看到戴老师从简单教数学的六个三、简单教数学如何达成和简单教数学这么来达成三部分来阐述，里面的每个小点都分三个方面来讲，可以看到数学教师所特有的简洁美。
“数学，简单地教，到底是为了什么？为了学生的成绩，这是每个一线教师都必须直接面对的现实。为了学生数学思维和素质的发展，这是每个一线教师都不可回避的教学目标。”戴老师就这样娓娓道来，真诚的话语拨动着我们一线教师的心弦。
众所周知，要达成以上两个目标，教室门有两种选择：一种是靠“量”，加班加点，加重学生的负担，让学生被动地学习；另一种是靠“质”，提高课堂效率，让学生快乐的学习。就算我们教师在平时的教学过程中无奈的选择了第一种，其实在心里，哪个教师不想选择第二种呢？这样学生能够“快”“乐”的学习，我们教师自己也会轻松不少。认真的看了戴老师的书后，结合自己的教学实际，我将在下学期做以下三点尝试：
一、落实学生主体性原则
戴老师把学生的发展区细分为三个层面：一是学生能独立完成的智力任务，二是通过学生之间的互助能完成的学习任务，三是学生独立或合作都无法完成的学习任务。那么，学生能独立完成的，就让他们自己完成，学生能合作完成的，就让他们合作完成，教师的教只承担20%的任务就可以了。
在以后的课堂中，面对新知，我要多说“你会吗？试试看。”鼓励学生去尝试，通过尝试，我就能比较准确的了解哪些学生掌握了，哪些学生还有困难。其次，组织小组交流，让会的和不会的同学展开讨论，交流成功的经验，分析失败的原因，提炼解决问题的方法。这样适当放权给学生，让学生成为课堂教学的主人，而教师只要动脑经激发学生去完成那80%的任务，帮助他们掌握他们无法完成的20%的任务就可以了。如果坚持这样，相信教学会简单的多。
二、教学环节“少”而实效
教学环节“少”一些，可以聚焦课堂教学的核心内容，节省课堂教学的时间，留出更多的时间给学生去思考。戴老师一般设计三个教学环节：一是导入，二是探究或讲解，三是练习。导入做到快而趣，探究做到慢而透，练习做到精而活。在时间上，戴老师是这样安排的：导入一般不超过3分钟，探究一般不超过15分钟，其他时间都用在练习和作业上。虽然我们小班一直在提倡把课堂的10到15分钟时间用在作业上，但是戴老师把半节课的时间用在作业和练习上，还是出乎我的意料的。这说明要学好数学，一定量的巩固练习是必须的，但为了减轻学生课外负担，我们要尽量压缩课堂，提高课堂效率，让学生把作业在课堂完成。其实在之前的教学过程中，我就已经尝试让学生把《课堂作业本》在课内完成。优点是学生独立完成作业时，教师还能对学困生做个别辅导，批改学优生提前做完的作业，从而更加全面的掌握每一个学生当堂的知识掌握情况。遇到的困难是怎样提高课内前20到25分钟的效率？戴老师的话，给了我一个方向，他说：应该尽快进入主题学习，探究的形式不易过多，应该追求纵而深入，做到“透”，而不是横向走过场。
三、落实课内批改
戴老师通过调查发现：教师们花在课后作业批改上的时间最多，这也是最无趣的一项工作，因为批改的作业是相同的，等于重复劳动。班级学生有多少个，教师一次就要批改多少份作业。如果教两个班，就有双倍的作业要批改。
自从我们学校实施学生作业面批百分百以来，课内学生有10到15分钟的作业时间，我也有时间批改学生的作业，学生做完一个批改一个。可是在大部分的课堂上，我只能改完一部分学生的作业，还有一部分做得慢的学生的作业根本就来不及批改，而且在批改的过程中，一看后面长长的批改队伍，就恨不得自己能变身。我们在这边热火朝天，可批完作业的学生却无事可做。
戴老师的批改策略是：教师先改完第一个学生的作业，后面的学生作业就有两个人批改，当教师和第一个做完作业的学生各自批改完后面两份作业时，就有四个人加入批改作业的行列……这样，只要全班学生都能按时完成，就完全有可能在下课前批改完全班学生的作业。戴老师的方法其实在我遇到之前的苦难时，也曾想到过，只是因为上学期评五星级学校，一直搞问卷调查，不太敢用，下学期值得一试。
当堂批改的作业当堂更正，当堂更正的作业当堂返改，学生更正后的作业给批改的学生检查，如果还不对，就需要他的帮助，直到理解为止。这样大大提高了课堂效率。
书中还有太多太多值得我们学习的地方，戴老师是这样耐心的、毫无保留的指导我们去达成简单的教数学。这真的是一本好书，是一本值得我们放在案边反复学习的好书，读了此书，一定会有收获。

八、中学数学教师之中学数学教学论作文

我所看的这本书是由人民教育出版社2019年2月出版的《中学数学教学论》一书。 书中论述了中学数学课程目标、课程内容、中学数学学习过程、教学过程与方法、教学手段、教学组织、教学评价等诸多方面，对中学数学教师的教学有很大的指导意义。它有一个特点，就是本书的作者结合了现在的新课程标准以及新教材进行分析，做到理论与当今教材相结合，读后获益匪浅。

介绍了中学数学概念教学、计算教学、几何问题及其教学，尤其是其中关于计算教学的论述使我对中学数学中计算教学的理解提高了一个层次，书中谈到“计算更多的是一种内隐的心智活动”。下面我就结合书中的一些的观点并结合我在计算教学中的一些体验，谈谈我对计算教学的一个新的认识，即：应关注计算教学中思维能力的培养。

很多教师在计算教学中都喜欢采用操作的方法，本来结合操作让学生理解算理无可厚非。根据学生的思维特点，算法的建构离不开操作的直观感知来获取算理，但并不意味着有了操作就可以理解算理、建构算法。事实上动手操作所获取的只是对算理的直观感知，迫切需要教师通过有效引导来搭建平台，帮助学生进一步内化整理，以便沟通算理与算法之间的内在联系。也就是说：操作不能停留在对结果的追求和对算理的理解上，还应及时概括和提炼出算法。教师在学生操作之后引导学生用语言表述出操作过程，帮助学生实现“实物操作”向“算法操作”过度，让学生体验从直观到抽象的逐渐演变过程，逐步摆脱对操作的依赖，从而促使学生抽象思维能力的发展。把操作活动与知识教学紧密联系起来，帮助学生把抽象的思维外显为直观的操作活动，学生的思维由动作到半动作半表象，再到表象思维，最后到抽象思维，由易到难，循序渐进拾阶而上不断深入。

另外，课堂上让学生充分操作，在操作中充分理解算理，这就为抽象出算法储备了丰富的感性认识和感性经验，为算法建构提供了有力支撑。在此基础上，再展开分析、比较、综合、概括，将学生零散的经验和认识进行整理、汇聚，帮助学生将认识进一步明晰化、系统化，从而自然地促进算法的建构。

如果仅停留在操作层面，不能让学生在头脑中对获得的感性经验进行必要的重构，而让仍沉浸在直观形象算理中的学生运用抽象的算法进行计算，则欲速而不达，不利于算法建构。

书中提到：要用综合的思维方式对数的运算结构教学进行整体改革，即融口算、笔算、估算和简算为一体。我想，在教学此类知识时，在思维方法上，应该突破原有的单一凝固的某种算法前提下的教学格局，不是用简单的“加法”，而要用综合的方法来关注和处理单一打破后出现的复杂的多维变化的信息，通过价值判断和结构化的处理，形成有核心的丰富的统一。这才是融合以后形成的“多”与“一”的统一。新形成是的“一”不是“单一”，而是有“主”有“从”、有“层次”、是多方面的和谐统一。这种融合可以唤醒学生灵活判断与主动选择的自觉意识，意味着学生的思维有了更大的空间，是一个更深层次的灵活主动。这才是计算教学深层次的教育价值。

总之，这本书对我而言在教学方面非常有帮助，可以大大地提高我对中学数学新课程改革的认识，让我可以学到很多新理念，并尝试着运用课堂教学中，理论与实际相结合地去摸索经历，从而获得宝贵的教学经验和教学成果。

九、数学其实不难

一、心理畏惧尽量不要去学
我们说，做什么事情都要有一个良好的心态。据科学家们分析，人在有心态问题时是断然不能发挥其平时百分之一百的水平，如果是在中考甚至是在高考的考场当中，心态出现了严重的问题，那十年的光阴一瞬间就要功亏一篑了，这岂不是让众多考生无颜见江东父老了吗。其实，你绝对没有必要对数学有任何的心理抵触。举一个简单的例子，如一些应用题，虽然看上去文字描述比较多，但实际分析实用的数据仅仅有那么几个而已，然后通过建立数学模型而列出方程，进而得出答案。等完成后你会觉得数学最难的试题也不过如此的时候，顿时你的自豪感就会由然而生，这时你对数学的抵触情绪便云开雾散，灰飞烟灭了。
二、上课听讲很重要，45分钟要实效
你不要以为我在开玩笑，上课听讲谁还不会啊！其实并不然，我说的听讲则是完完全全、认认真真、仔仔细细来听讲。对于课堂上老师所讲的每一个公式，每一条定理都要深究其源，这样即便在考试当中忘了公式，也可以很好的解决问题，不至于内心的慌乱和紧张。另外要充分利用好课堂这短短的45分钟的时间，尽量在课上将所学习的知识吸收，这样回到家后才能进一步展开接下来的学习，节约时间。
三、看书写作业的顺序
看书和写作业要注意顺序。有的老师说先写作业再复习，其实经过证明这是完全不对的。因为在下课之后到你回家时又经过了一段时间，这段时间难免你会把老师所讲的重点或细节忘记，这种情况下写作业难免会有一些问题。其实，我们要养成良好的学习方法，尽量回家后先复习一下当天学习的知识，特别是所记的笔记要重点关照，然后在写作业，这样效果更佳。
四、注重课本上的例题
也许你会这样说：那些例题太简单了，我一看就会了。其实，如果你不注意那些过于简单的例题的话，在考试当中就会吃大亏。大家都知道，近几年来不论是中考、高考等各种数学考试的解答试题基本上都是经过例题改编而成，如果你平时养成了对例题不重视的习惯，那么到考试时候，它的特殊气氛会使你处处都感到紧张，进而对这样简单的试题束手无策。所以，我们一定要在平时的学习中养成注重例题的习惯，这样会在考试当中多一分胜算。
五、面对高考中考，平时要弥补漏洞
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。对于平时的测验和考试不要注重于成绩，一定要找到自己的漏洞。考试的功能就是要检验自己平时的学习上还有那些漏洞，有些同学过于注重成绩，怕在朋友面前丢面子。如果是这样，我劝你还是多丢面子为好。错题是你的宝贵经验，错一次并不可怕，下一次做对不就可以了。俗话说：久病成医，说一句白话，你错的越多，考试再做这样的试题正确率就会比别人更高，笑到最后的才笑得最好。
六、准备错题本，积累宝贵经验。

十、数学《第三讲中国古代数学瑰宝四中国古代数学家》29PPT课件一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲

《中国古代数学家》教学设计
湖北宜昌三峡高级中学
杨莉
教学分析：
1.教学内容分析：本节课的内容是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三讲《中国古代数学瑰宝》第四课时——《中国古代数学家》，本节课主要介绍了我国古代三位著名的数学家刘徽、祖冲之、祖暅对圆周率的发展，球体体积公式的推证所做出的巨大贡献.通过教师引导学生经历动手操作、大胆猜想、探究讨论、证明推理、得出结论的探求过程，使学生了解割圆术，祖氏原理产生的文化背景，更好的体会其应用价值，更全面更深入地认识割圆术，祖氏原理和球体体积公式，促进学生对数学的理解。
2.学生学情分析：该内容属于选修系列3的内容，学生在以前的学习中和平常的生活中对中国古代的数学已经有了一定的认识，但都没有系统的学习，更没有进行主动的学习和深入研究。但该阶段的学生在思想上已比较成熟，思考问题的角度也趋于多样化，他们已经能够在教师的引导下积极主动地思考问题、大胆猜测、动手实践，也能灵活运用电子白板等辅助教学工具。
教学目标：
1.
知识目标：了解中国古代数学瑰宝；了解三位数学家刘徽，祖冲之，祖暅辉煌的数学成就；了解割圆术，
“祖率”，以及利用牟合方盖推证球体体积公式的过程.
2.
能力目标：渗透割圆术中蕴含的极限思想和微积分思想；渗透球体体积公式推证过程中蕴含的转化、类比、构造思想
;培养学生注意寻求数学内部的联系，把数学的逻辑性和直观性结合起来的数学学习习惯.
3.
情感目标：通过研究数学家们分析和解决问题的历史背景、内容和方法，培养学生学习数学家们百折不挠的治学精神；求真求实、勇于探索，富于批判的精神；通过学习，让学生感受到中国古代数学历史的悠久与魅力，增强民族自豪感.
教学重点：
了解刘徽的“割圆术”；了解祖冲之的“祖率”；了解几何体牟合方盖的体积求解方法；
了解祖冲之，祖暅的“祖氏原理”；了解球体体积公式推证方法.
教学难点：
1.
如何对数学文化加以生动的阐述和提炼；
2.
如何将抽象的牟合方盖形象具体化；
3.
牟合方盖体积求解的探究过程.
教学过程：
引入新课
一．视频情境引入新课
（视频体验）视频《中华文明》片段和数学史文化图片，展现中华文化.
问题：你知道中国古代有哪些著名的数学家？
设计意图：感受中华文明，了解中国古代发达的科学技术，引出本节课的主题.
讲授新课
二．刘徽割圆术初探圆周率
（1）质疑：认为《九章算术》中关于圆面积的求法“周三径一”是不够精确的.
（2）创立：割圆术，以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出这些正多边形的周长和面积.
极限思想和无穷小分割思想：
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.
若夫觚之细者与圆合体，则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.
在圆内接正多边形与圆合体的极限状态时，余径消失了，圆面积上界的极限值就是圆面积，于是内外两侧的极限都趋向同一数值即圆面积.
222()nnnnSSSSS圆
（3）设计活动一：学生运用割圆术方法动手估算圆周率.
（4）对比:古希腊阿基米德的穷竭法
设计意图：认识刘徽割圆术的方法与思想，在动手实践中感悟与升华，通过与西方数学家的研究成果对比，增强学生民族自豪感.
三．情景剧推动新课
（1）质疑：《九章算术》的《少广》章“开立圆术”：3169dV球
两位学生表演情境剧：刘徽质疑《九章算术》中球体体积求法
《九章算术》的《少广》章“开立圆术”
：
置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径.
刘徽曰:
然此意非也。何以验之?取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸，规之为圆囷，径二寸，高二寸，又复横圆之，则其形有似牟合方盖矣.
（2）构造：“牟合方盖”模型
在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分就是牟合方盖.
正n边形
n=6
n=12
n=24
n=48
n=96
n=192
360sinn
sin60
sin30
sin15
sin7.5
sin3.75
sin1.875
近似值
0.866025
0.5
0.258819
0.130526
0.065403
0.032719
正n边形面积
四.
合作、动手初步认识牟合方盖
（1）设计活动二：动手制作牟合方盖模型，建立对牟合方盖的直观认识;
（2）设计活动三：层层设问引导学生观察，思考，讨论，交流突破难点：
问题1：正方体的内切球与它的两个内切圆柱是什么关系？
学生：两个圆柱都包含正方体的内切球，并与它相切.
问题2：正方体的内切球与牟合方盖是什么关系？
学生：牟合方盖包含正方体的内切球，并与它相切.
问题3：用一个水平面去截牟合方盖和它的内切球，它们的截面是什么形状？具有怎样的位置关系？
学生：截面为正方形和它的内切圆.
问题4：截面圆与其外切正方形的面积之比为多少？
学生：22=:4:4SSrr圆方：
问题5：牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比为多少？
学生：
:4
每一个高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都是:4
结论：牟合方盖内切球VV4，将求内切球的体积转化为求牟合方盖的体积.
设计意图：通过活动二帮助学生建立“牟合方盖”
的直观认识；
通过活动三的层层设问使学生认识牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积关系，有助于培养学生构造性思维和探索、创新能力.
五.设疑推进新课
设疑：如何计算牟合方盖的体积呢?
刘徽曰：观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩，判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理.
敢不阙疑，以俟能言者.
设计意图：通过刘徽不能求出“牟合方盖”
的体积，调动学生求知欲；帮助学生体会和学习刘徽这位伟大数学家的谦虚谨慎，实事求是的治学态度.
六.祖冲之再探圆周率
介绍祖冲之的卓越贡献，
其中“祖率”是一项史无前例的创举.
《隋书·律历志》记载
：祖冲之更开密法，以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二.
圆周率数值的上下限：
祖率（密率）：355=113；约率：22=7
3.14159263.1415927（肭数）（盈数）设计意图：帮助学生认识圆周率的发展历程,从而更好地体会“祖率”的应用价值，同时也为祖氏父子释疑“牟合方盖”作铺垫.
七.
祖暅释疑“牟合方盖
”，推证球体体积公式
（1）介绍祖暅的卓越成就；
（2）内、外棋分割：
内棋
外三棋
（3）结论：外三棋立牟VVV81
（4）祖氏原理：幂势既同，则积不容异
（5）祖暅之开立圆术
取八分之一的正方体和牟合方盖，设正方体边长为r，在高h处用一水平面截这个几何体
（6）设计活动四：层层设问引导学生观察，思考，讨论，交流突破难点：
问题1：内棋的截面面积为多少？
学生：
问题2：外三棋的截面面积为多少？
学生：
问题3：外三棋截面面积的数值可以看成哪个常见平面图形的面积？
由此你能联想学过的哪个几何体的截面正好是这个平面图形？
学生：可以看成正方形的面积，联想到倒立的正四棱锥，它的截面正好也是正方形.
问题4：外三棋的体积是多少？
学生：正方体的外三棋与倒立正四棱锥在任意等高h处的截面面积总是相等的
由祖氏原理得
问题5：八分之一牟合方盖的体积是多少？牟合方盖的内切球体积是多少？
学生：锥立牟VVV813333231rrr3316rV牟
结论：333431644rrVV牟球
1994年哈佛大学主编的《微积分》收录该方法
2222PMOMOPrh22=SSrh红内棋2222=()SSrrhh外三棋黄31=3VVr锥外三棋设计意图：通过活动四的层层设问引导学生主动探究，突破难点；有助于培养学生转化化归能力，构造性思维和探索、创新能力.
小结新课
八.小结收获，领悟精神
设计活动五：师生共同思考、讨论、交流、展示本节课的学习体会
数学史料：1.圆周率的发展历程
;
2.球体体积公式的推证过程;
3.认识了牟合方盖及其体积公式.
思想方法：1.极限思想和微积分思想;
2.转化思想;
3.构造法思想.
领悟精神:
1.富于批判与创新精神;
2.注意寻求数学内部的联系;
3.注意把数学的逻辑性和直观性结合起来
设计意图：通过活动五有助于学生更好的感受三位古代数学家丰富的数学思想、辉煌的数学成就以及严谨的治学态度；从而增强学生的民族自豪感，可以对学生进行良好的思想教育和爱国主义教育.
布置作业
1.查阅与刘徽割圆术相关的资料和视频，了解刘徽计算圆内接正n边形面积的方法.
2.找一找生活中还有哪些牟合方盖的实物，并计算它的体积.
教学反思
本节课所涉及内容非常丰富，但课堂时间有限，而几何体牟合方盖对学生来说抽象又陌生，在教学活动当中应适当多花一点时间让学生认识牟合方盖的构成过程和几何特征；构造与外三棋体积相等的倒立正四棱锥是本节课的又一难点，因为时间关系，教学活动中给学生自主思考，构造的时间不够充足.
板书设计
《中国古代数学家》
1.
刘徽：割圆术
徽率
牟合方盖
2.
祖冲之：祖率=
3.
祖暅：“祖氏原理”，
黑板右侧：学生演排
222()nnnnSSSSS圆2213603601,==sinsin22nnrSrSnSnrnn圆正边形，=4VV内切球牟35511334=3rV球