高中数学教材封面，高中数学教材封面设计图片

　　高中数学教材封面（1）（2）

　　高考试题（3）

　　参考答案

　　1、高中数学选修6

　　2、必修1+必修6的知识点内容

　　3、函数，在函数的图象上。

　　4、不等式解答题，用公式，解析法解决。

　　5、高考试题类型与解法：选择题。特别提醒：该系列仅供高三师生使用！！！！！可直接在微信公众号“教育资讯”中回复：高考数学或选择相应的类别，即可获取该系列全部资料。

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一、数学

总事件， 分事件，求概率。
且或非， 原逆否，断真假。
线线面面，几何图形，三维空间。
X Y原点，函数图形，千变万化。
不等方程，相互联立，区域求解。

二、(完整word版)数学必修1-5

(完整word版)高中数学必修1-5

§1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．

知识点一集合的概念

元素与集合的概念

(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．

集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．

(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．

元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．

知识点二元素与集合的关系

思考1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案1是整数；不是整数．没有．

梳理元素与集合的关系

关系语言描述记法读法属于a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A的元素a?Aa不属于集合A

知识点三元素的三个特性

思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？

答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．

梳理集合元素的三个特性

元素意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居其一互异性集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b无序性集合中的元素是没有顺序的

知识点四集合的分类及常用数集

1．集合的分类

集合

2．常用数集

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或NZQR

1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)

2．0∈N但0?N＋.(√)

3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(×)

类型一判断给定的对象能否构成集合

例1考察下列每组对象能否构成一个集合．

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)的近似值的全体．

解(1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()

A．数学必修1课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．直角坐标平面内第一象限的一些点

D．所有小的正数

答案B

解析A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合．

类型二元素与集合的关系

命题角度1判定元素与集合的关系

例2给出下列关系：

①∈R；②?Q；③－3?N；

④－∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案B

解析是实数，①对；

不是有理数，②对；

－3＝3是自然数，③错；

－＝为无理数，④错；

0是自然数，⑤错．

故选B.

反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．

跟踪训练2用符号“∈”或“?”填空．

－________R；

－3________Q；

－1________N；

π________Z.

答案∈∈??

命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理

例3集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

答案0,1,2

解析∵x∈N，∈N，

∴0≤x≤2且x∈N.

当x＝0时，＝＝2∈N；

当x＝1时，＝＝3∈N；

当x＝2时，＝＝6∈N.

∴A中的元素有0,1,2.

反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．

跟踪训练3已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R，若1?A,2∈A，则()

A．a－4B．a≤－2

C．－4a－2D．－4a≤－2

答案D

解析∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.

又∵2∈A，∴2×2＋a0，a－4，

∴－4a≤－2.

类型三元素的三个特性的应用

例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.

(1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？

考点元素与集合的关系

题点由元素与集合的关系求参数的值

解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.

经检验，0与－1都符合要求．

∴a＝0或－1.

(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.

(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0.

若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．

若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．

故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．

反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．

跟踪训练4已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．

答案1

解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.

当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．

当a2－1＝0时，a＝±1.

a＝－1(舍)，∴a＝1.

此时，A＝{2,0}，符合题意．

1．下列给出的对象中，能组成集合的是()

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．方程x2－1＝0的实数根

答案D

2．下面说法正确的是()

A．所有在N中的元素都在N＋中

B．所有不在N＋中的数都在Z中

C．所有不在Q中的实数都在R中

D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

答案C

3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案C

4．下列结论不正确的是()

A．0∈NB.?QC．0?QD．－1∈Z

答案C

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

答案B

解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.

3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．

课时对点练一、选择题

1．已知集合A由x1的数构成，则有()

A．3∈AB．1∈A

C．0∈AD．－1?A

答案C

解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则()

A．0∈AB．a＝A

C．a∈AD．a?A

考点元素与集合的关系

题点判断元素与集合的关系

答案C

解析∵A中只有一个元素a且a≠0，

∴0?A，选项A错．

∵a为元素，A为集合，故B错误．

由已知选C.

3．由实数x，－x，x，，－所组成的集合，最多含()

A．2个元素B．3个元素

C．4个元素D．5个元素

答案A

解析由于＝x，－＝－x，并且x，－x，x之中总有两个相等，所以最多含2个元素．

4．已知x，y为非零实数，代数式＋所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()

A．0?MB．1∈M

C．－2?MD．2∈M

答案D

解析①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.

5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()

A．－1?AB．－11∈A

C．3k2－1∈AD．－34?A

答案C

解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.

令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；

∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.

6．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则()

A．a∈AB．a2∈A

C.?AD．a＋1?A

考点元素与集合的关系

题点判断元素与集合的关系

答案A

解析a＝＋＋＝45，∴a∈A.

a＋1＋＋1＝5，∴a＋1∈A.

a2＝()2＋2·＋()2＝5＋25.∴a2?A.

＝＝＝－5.

∴∈A.

故选A.

二、填空题

7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．

答案1

解析易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．

8．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；②D∈/Q；③0∈N＋；④－4D∈/N＋.

答案2

解析∵π是实数，是无理数，0不是正整数，－4＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.

9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.

答案6

解析∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.

10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是____________________．

答案x≠0,1,2，

解析由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.

11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____.

答案－1

解析∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，

∴0∈A.

又a≠0，∴＝0，则b＝0.

∴B＝{a，a2,0}．

∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.

由元素的互异性知，a＝－1，

∴a＋b＝－1.

三、解答题

12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．

解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－.

当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．

当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．

∴实数a的值为－.

13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；

(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

解(1)2∈A，则∈A，

即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，

即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.

(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.

(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，(a≠1，且a≠0)，且三个数的乘积为－1.

证明如下：

若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，

所以又有＝∈A且≠1，

进而有＝a∈A.

又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．

同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素，

它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.

四、探究与拓展

14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是()

A．{1,2,3}B．{1,2}

C．{0,1}D．{0,1,2}

答案B

解析由题意知：

解得

∴集合A＝{0,1,2}，

则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.

故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.

15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：

(1)3∈A；

(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.

证明(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，

得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.

(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．

①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，

所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，

三、人教版数学《圆的标准方程》

课题：“圆的标准方程”
教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”的第一课时
一、教材分析
在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用同时，
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。
依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。
二、学情分析
此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r（尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。
三、教学目标
根据以上分析，制定以下教学目标：
知识目标：
1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.
能力目标：
1．通过圆的标准方程的探究过程使学生对用代数方法解决几何问题的一般思维过程与模式加深认识；
2．通过例题分析和练习巩固对用待定系数法求解曲线方程的基本步骤与思维过程的理解和运用。
3.通过运用多种方法对例题进行分析使学生掌握几何性质（切线性质）对优化计算的作用，加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
情感目标：
1、通过对圆的标准方程的学习，让学生感受数学的美（形态美、和谐美）；
2、通过运用圆的知识解决实际问题的学习，让学生体会理论来源于实践。
四、教学重点．难点
教学重点：圆的标准方程模型的探索、标准方程的求解及其应用.
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程
五、教法分析
为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题其基本教学模式是：
本节课的难点是运用待定系数法求圆的标准方程，对学生而言最难的地方就在于方法的选择。所以我准备在例题的讲解让学生对几种方法进行对比，然后让他们通过自己的亲身感受来体会各中的优劣，他们根据自己的实际情况来选择适合自己的方法。
六、学法分析
基础教育课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从复习引入→情景创设→深入研究→获得新知→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。
七、教学活动设计
（一）动画引入，创设情境
【设计意图】
由我国古老而神秘的太极图引入课题
让学生感受圆优美的几何属性和我国
博大精深的古代文化，激发学生的学
习热情。
师：太极八卦图是中国古老的文化科学遗产，是中国古代劳动人民智慧文明的结晶。它不但在古代为人民建树了不可磨灭的功勋，就是在现代也做出极重大的贡献。1930年一月美国天文学家汤保发现了太阳系的第九颗行星冥王星。旋即有人提出，太阳系有没有第十颗行星呢？由于冥王星发现不久，观测数据还不精确，预测第十颗行星的努力接连遭到了失败。当时在法国勤工俭学的只有二十七岁的中国人刘子华，他发现太阳系的各星体与八卦的卦位，存在着对应关系。他依据这个关系，利用天文参数进行计算，算出了第十颗行星的平均轨道运行速度为每秒二公里，离太阳的平均距离为74亿公里，按照希腊神话命名原则，在冥王星后面的叫做“木王星”。刘子华把自己的预测，写成了题为“八卦宇宙论与现代天文”的论文，交给了法国巴黎大学，作为考取博士学位的论文。论文获得了一致的赞赏，1938年正式授予刘子华法国国家博士学位。这是中国科学家在现代运用太极八卦图，做出的震动世界的伟大贡献。
师：今天老师就将和同学一起用代数
的方法来研究圆这种优美的曲线。
【给出标题】圆的标准方程
（二）提出问题，尝试探究
问题一：已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求这个圆的方程。
师：清同学们利用所学方法解决问题一。
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方案一：学生处理得很好，让学生来讲。
方案二：学生不能处理，则将题目变一下，再让学生处理
问题变式：一个动点到原点的距离等于5，求这个点的轨迹方程。
【设计意图】
充分调动学生的积极性和主动性，从这里也可以进一步了解学生的实际情况，对后续内容的处理会更贴切。
师：同学们是用什么方法求出圆的方程的呢？
生：用的是解析法
师：这个方法的一般步骤是：建系、设点、列式、化简四步曲。
【设计意图】回顾复习用轨迹思想求曲线方程的一般步骤。
师：若半径发生变化，如半径为6，圆心在原点则圆的方程又是怎样的？
生：x2+y2=36
师：一般的，半径为r，圆心在原点的圆的方程形式是怎样的？
生：x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2表示是特殊位置的圆，称为原点圆，那么一般地，圆心在任意一点C（a,b）点，半径为r圆的方程又是怎样的？
【设计意图】遵循循序渐进的原则，从特殊到一般，逐步将问题深入。
（三）特殊到一般，建立方程模型
问题二：设圆心为C，半径为，求圆的方程。
【学生活动】探究圆的方程。
【教师预设】
解：设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2
【设计说明】再次熟练解析法，得出一般的圆的标准方程
师：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。特别地，当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
从这种形式中可直接得到圆心和半径的信息，反之知道圆心和半径也就可以直接写出圆的标准方程，所以我们在求圆的标准方程时，可先设出圆的标准方程，再想办法求出未知系数，这种方法就是待定系数法。
（四）应用举例
例1、根据圆的方程写出圆心和半径
（1）；（2）．
圆心(2,3)，半径圆心(-2,0)，半径2
例2、写出下列各圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3；x2+y2=9
（2）圆心在，半径为；(x-3)2+(y-4)2=5
（3）经过点，圆心在点．(x-8)2+(y＋3)2=25
【练习】已知点A(-4，-5），B(6，-1)，求以AB为直径的圆的方程.(x-1)2+(y+3)2=29
【设计意图】基础练习，巩固、加深对圆的标准方程的理解。
例题3、求以为圆心，并且和直线相切的圆的标准方程.
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方法一：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
方法二：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
由直线3x-4y-7=0与圆相切，所以联列方程组有且只有一组解
即联列方程组消去y得：25x2-146x+377-16r2=0
由△＝1462－4×25×(377-16r2)＝0，解得：r＝
因此，所求的圆的方程是
【学生可能出现问题】确定半径有困难，注意引导学生观察图象，
【设计意图】熟悉待定系数法，初步体会运用圆的几何性质（切线性质）对优化计算的作用，借此强化数形结合思想。
例题4．已知圆的方程为，设直线与圆相切于点，求直线的方程．
师：你打算怎样求过M的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师：这仍然是待定系数法的思想，关键是斜率怎样求？
【学生活动】探求切线方程
【教师预设】
方法一：设所求直线的方程为y－4＝k（x－3）即
kx－y－3k＋4＝0
由题知：圆心到切线的距离等于半径，即
，解得：
∴过点M的切线方程为：，即
方法二：∵点M（3，4）在圆x2＋y2＝25上，
∴半径OM与切线l垂直，即
∵∴
∴过点M的切线方程为：，即
【设计意图】运用圆的标准方程解决切线问题，进一步的运用圆的性质和待定系数法。
【备用】圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0
师：注意观察，在切点坐标与切线方程之间存在密切的关系，你发现了吗？
（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想太迷人了，那么可否给出证明？
生：。。。。。。【思考】
师：这个问题作为思考题留给同学们下课后独立思考解决好吗？
生：好
【设计意图】让学生从特例中观测、总结出一般化的结论，培养学生观察概括的能力，让学生体验发现规律的成功感觉，有利于激发学习热情。
【根据实际情况选用】
例题5：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）．
【设计说明】引导学生分析，共同完成解答。师生分析：建系；设圆的标准方程（待定系数）；求系数（求出圆的标准方程）；利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立坐标系。则圆心在Y轴上，设为（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面用待定系数法求b和r的值：
P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5,r2=14.52
圆的方程为x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取y0得：
≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
【设计意图】将所学的知识用来解决实际问题，提高知识的运用能力，让学生体会数学源于生活，又反过来为我们解决许多生活中的问题，提高他们对数学的认识和兴趣。
（五）反馈训练
1．求圆x2＋y2＝13过点（-2，3）的切线方程.-2x+3y=13
2．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。(x+1)2+(y+5)2=1
3．求圆心在直线上，且与直线切于点（2，-1）的圆的标准方程
解：设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆与直线相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于的直线：上，
，即圆心为C（1，-2），=,
∴所求圆的方程为：
【设计意图】巩固、测试本节课的目标。
【备用题】
求圆心在y＝－x上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的标准方程。
解：设圆心坐标为()，则所求圆的方程为,
∵圆心在上，∴①
又∵圆过（2，0），（0，-4）∴②
③
由①②③联立方程组，可得
∴所求圆的方程为
【设计意图】如果学生的基础很好、时间允许的情况可以使用，以备不时之需。
（六）课堂小结
本堂课我们利用解析法探索了圆的标准方程，进而用待定系数法求解圆的标准方程，在这个过程中我们得到了以下结论：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
(2)求圆的标准方程的方法：待定系数法；找出圆心和半径
(3)已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
（七）课后作业：
巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
思维拓展型作业：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？
2、方程：的曲线是什么图形？
3、已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合
即,
整理得：
所求曲线方程即为：
将其左边配方，得
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示
圆的标准方程
方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。问题一、…………例2、…………
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
注意：问题二、…………例3、…………
①从标准方程中我们可以直接得出圆心坐标和半径
②要确定圆的标准方程只需要确定a，b，r三个独立变量就可以了问题三、…………例4、
小结：
①圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：练习
当圆心在原点时，圆的标准方程为：例1、…………作业
②求圆的方程的方法：待定系数法（找出圆心和半径）。
（八）板书设计
八、教学（后）反思
1、教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用（待定系数法求圆的标准方程）。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，从特殊一般引导学生探究获得圆的标准方程，让学生体会这种数学的探究方法。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，让学生自己体会各种方法的优劣，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用“引导探究”型教学模式把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．感受了数学的美、培养了兴趣、增强了信心。
2、教学预设与生成的差距与原因
本节课上下来基本上完成了我所预设的教学内容，当然有些地方未能完全实现自己的想法。如：过圆上定点的切线方程的猜想的证明，本来准备让学生自己完成的；例题的设计本来是准备围绕待定系数法这一重要的数学思想方法展开，但因为时间关系只能一带而过；最后的课堂小结本来准备让学生自己将本节课的探究过程进行及所得结论回顾等都没有得以实现。我反思整节课发现问题出在前面的几个环节的节奏把握上，具体的说：引入部分说得太多，实际上可以用多媒体演示出来让学生看，老师只提一下就行了；圆的标准方程的探索过程比较简单，不需要举这么多的例子，实际上可以将四个例子浓缩为两个：“圆心确定（0，0）、半径确定2”；“圆心任意（a，b），半径任意r”即可。我想如果前面紧凑一点，那么后面自己的很多想法就能得以体现，这堂课的效果会更理想的。
3、感受最深事件（成功与失败）的缘由与启示
在这次课堂大赛中让我学习到了许多东西，如：如何写教学设计。让我感受最深的是“向课堂40分钟要效率的关键在于课堂节奏的把握”，一节课你在课前准备得再怎么充分，如果课堂上你没有把握好节奏，那么所有的准备可能都是在做无用功。
4、对某些问题的进一步认识与总结
结合这次赛课的自身体会和听另一位老师的课的感受，我想自己对“学法指导”有了进一步的认识，我感到“学法指导”应该融入课堂的各个环节，如：课堂上该怎么过手训练；怎么与同学、老师进行交流；该怎么去探索发现新知；一堂课所学知识与方法该怎么来总结记忆等。在课堂上给予学生好的“学法指导”可以大大提高课堂效率。
5、有价值的待研究的问题
结合准备阶段的想法、上课的感受及效果、课后评委老师的指导，我认为“如何发挥例习题的作用，以使教学目标得以达成”是一个有价值的待研究的问题。关于这个问题我会在今后的教学中不断总结、提炼，我想一定会的我的教学带来很大的帮助的。
就本节课为例，因为圆的标准方程的概念不难，所以本节课的重点应该放在夯实基础上。为此目的，我们可以在原例1的前面再加一个判定方程是否为圆的标准方程，然后再用例1，例2，……。这样可以更好的让学生理解和掌握圆的标准方程的结构特征、性质特征及其运用。

四、册那份不一样的真情

也许，真情是一种看不见，摸不着的东西。但是我认为真情就在我的身边，无处不在。
下雨的一天，我早早地起了床。洗漱完毕以后，我背上书包，然后就和母亲走出家门，开始新的一天。
走在路上，突然听到“咕噜噜”一声，才发现自己还没有吃早饭呢，母亲带我连忙向菜市场走去。就在路的旁边，发现有一个不起眼的摊位，摊主在那里吆喝着：“卖包子了，又香又大的大包子!”我走进一看，旁边竖着一块简易地用木桌面立起来的招牌，上面用粉笔写上两个正正方方的大字，顶上用一块既不防风又不防雨的塑料布盖在上面。我走进去，立马闻到一阵肉包子的香味，我问摊主：“你这个包子多少钱一个啊?”
“只要2块钱，两个包子包你吃到饱!”
听到他这么肯定的语气，我决定就在他这里吃。我点了一碗粥和2个包子，就坐在那里静静地等候。我很自然地望向外面，在摊主的身上定格了下来，他身穿一条白色的背心，边角已经泛起了一些汗黄，老式西装耷拉在削瘦的腿上，裤脚已经被雨水溅得湿透了。鞋子说不上破旧，灰黑的头发中落下了雪白的发丝，斑斑点点的皮肤如同揉皱了的白纸，似乎一扯就会脱落的样子。
不一会儿，包子和粥就被端上来了，我慢慢地吃好早餐，然后站起身，背起书包，母亲递过去10元钱，他小心翼翼地接过钱，好像一个做错了事的孩子，然后他从口袋里翻出一踏旧钞票，从一到十元摆好，似乎每一张都是用汗水蘸饱的手捋平过的。他蘸了下口水，然后拿出了一张皱巴巴的五元钞票，塞到了母亲的手中，但是母亲只是笑了一笑，然后退了回去，只是指着一元的纸币，然后就收下了。我问我的母亲当时为什么要这样做，她回答道：“我看他挺可怜的，没什么收入，挺不容易的。”
这种真情其实无处不在，我想他一定感受到了我和母亲对他的一种别样的真情。因为普通人都只会对他说几句话，但是我们却用爱的实际行动透露出了我们对他真正的关心、关怀。
这就是一种不一样的真情。

五、数学重要资料

相信熟记以下基本知识点，你一定会旗开得胜！
1、一元二次方程求根公式：
2、a+b、a-b、ab、a2+b2（知二求二）
3、用点的坐标表示线段长：一定要加绝对值
若已知两点A、B的坐标：则AB=右-左、AB=上-下
见坐标、想代入；
见坐标、作垂直（向x轴、y轴作垂直）横平竖直
4、1）双曲线与直线y=±x的交点，到原点距离最近
2）直线y1和双曲线y2
①当y1y2时，cx0或xm
②
③
=
3)已知范围过原点，所求范围：或
已知范围不过原点，所求范围：两边夹
4)函数增减性：反比例函数、二次函数后面没括号，说增减性，一定错，有括号不一定对。二次函数增减性，看对称轴和a的性质：a0时，离对称轴越近，函数值越小，a0时，离对称轴越近，函数值越大（一定要画草图）
5、角平分线+平行→等腰
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3
∴AB=AD
6、线段的中垂线：
见线段的中垂线，作中垂线上的点到线段两端点的距离，则这两个距离相等
7、等腰三角形：
1）等腰三角形两种分类方法：
ⅰ、分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形
若求顶角，则两顶角互补；若求底角，则两底角互余
ⅱ、△ABC是等腰三角形：①AB=AC②BA=BC③CA=CB
工具：用圆规
2）黄金等腰三角形：
△ABC∽△BCD
8、直角三角形：
常用勾股数：
3、4、5；6、8、10；9、12、15
12、16、20；15、20、25；5、12、13
8、15、17；7、24、25注意勾股比的应用
9、相似：
1）等等等?
∵∠1+90°=∠2+90°
∴∠1=∠2
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
2）母子相似图（知二求四）
∠1=∠C、∠2=∠B
在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC
∴BA2=BD·BC、DA2=DB·DC、CA2=CD·CB、AB·AC=BC·AD
10、四边形：熟记所有定义、性质、判定
1）平行四边形为中心对称图形，
等腰三角形（等边三角形）为轴对称图形
等腰梯形为轴对称图形
矩形、菱形、正方形既轴对称也中心对称
任意多边形外角和均为360°
2）等腰梯形：上底=腰，加下列中的
任意一个，则可得到其他结论
BC=2AD，∠A=120°，∠ABC=60°
BD⊥CD，BD平分∠ABC
3）等腰梯形：对角线互相垂直
S梯形ABCD=S△DBE=
4）中点四边形：
原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形
原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形
原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
5）菱形：加对角线，小直角大等腰，特别注意两邻角分别为60°、120°和30°、150°的情况
当∠BAD=60°时，AB=BD，BD：AC=1：
菱形面积S=AB·DE=
当∠BAD=30°时，则DE=
6）矩形：加对角线，小等腰大直角
7）直角梯形：常用辅助线：作高
11、解直角三角形：
1）已知30°的对边求邻边：×
已知30°的对边求斜边：×2
已知30°的邻边求对边：÷
已知30°的邻边求斜边：÷×2
已知斜边求30°的对边：÷2
已知斜边求30°的邻边：÷2×
2）已知直角边求斜边：×
已知斜边求直角边：÷
3）
4）已知腰求底：×
已知底求腰：÷
5）特殊角三角函数值：
sin30°=cos30°=tan30°=
sin45°=cos45°=tan45°=1
sin60°=cos60°=tan60°=
6）正弦：
余弦：=
正切：tan
7)已知一边、一个三角函数：设k法
8）注意转化角的应用
12、在直线l上找一点P使它到已知两点A、B距离之和最小（A、B在直线ｌ同侧）
方法：作出点A关于直线l的对称点C，
连接BC交直线l于P，则点P即为所求
此时，BC即为PA+PB的最小值
或在直线l上找一点P使它到已知两点
A、B距离之差最大（A、B在直线ｌ两侧）
方法同上，BC即为PB－PA的最大值
13、分类：
1）见等腰，想分类
2）见高，想分类
3）相似中的分类
以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似
4）四边形中的分类
以A、B、C、D为顶点的四边形

六、一枚书签

周五上午第二节，出去学习两周的数学老师突然神秘地出现在教室门口，大家又惊又喜：老师终于回来了！更为惊讶的是，老师手上竟提着一个鼓囊囊的红色塑料袋，里面花花绿绿，好像是卡片。那是什么？上课用的吗？
老师假装没有看出同学们眼中的疑惑，走上讲台，继续卖着关子：“同学们，老师去北京这么长时间，你们想不想？”“想！”看着老师那温和的笑脸，同学们异口同声地回答道。
“那就好，我这次去北京，不是去随便玩的，而是有严格的学习计划，所以没有太多的时间去给大家买礼品，这些还是在清华大学里边买的，算是老师给同学们的一点心意。”
这太不可思议，我从一年级到六年级，老师出差的次数不可计数，给个别同学买礼物的老师也有，可给全体同学买礼物的老师却闻所未闻。出差在外，还心系着同学们，不辞劳苦地将礼物带回来。这也太令人感动了吧！
老师边说边解开袋子，从里边掏出礼物。哇！原来是书签。
在同学们的欢呼声中，老师开始沿着过道挨个分发书签。
一会儿功夫，书签也发到了我的手中。它太美了:正面是一幅手绘的清华二校门图片，欧式的象牙白大门，在周围或青或红或黄的树木映衬下，显得那样典雅素净，美轮美奂。拱门上边的“清华园”三个黑体大字，更让这个建筑显得沧桑古朴，燃起了我心中对清华的向往。
手绘图的右边写着四个苍劲的紫字——清华大学。这四个字的旁边，还印着圆形的校徽。书签的最右边，系着一根红绳，看着别有一番滋味。
它的背面更是充满内涵，上面摘抄着历届清华名人写的优美短诗。我自已的这张书签，上面写着林徽因的《你是人间的四月天》:你是一树一树的花开，是燕在梁间呢喃，——你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天！
“你的呢？上面画的什么？”同学们都拿着书签，前后左右互相扭头看。原来这书签内容还这么丰富多彩。彩绘图除了二校门，还有有正门、礼堂、荷塘。背后的诗也各不相同，同桌那张的背后就是徐志摩写的小诗。
就在我们还沉浸在书签的美丽之中时，老师扶了扶眼镜，打断了我们的讨论：“同学们，这次我去北京，感触很大。那里的教学设备与理念十分先进，每个同学都特别的优秀。有一次，我们去了一个实验小学，那座小学里没有一本纸质课本。”说着，老师指了指他的数学书，“你们肯定要问，他们怎么上课？其实很简单，他们使用电子图书，每个人都有一个平板电脑，所有的课本知识都收藏在那里面。”
“而同学们生活在一个偏僻的小县城里，无法和北京的教育资源相比。我们现在许多同学认为，自己这些成绩，就挺满足。其实，如果与大城市的一比较，就能够看出差距。但是，书，却能让我们小县城的孩子和大城市的孩子缩小差距。”
“在未来，许多职业都将被人工智能所取代，只有好好学习，有足够的知识，才能谋得一份好工作。所以，大家一定要严格要求自己，给自己定一个目标，考一个好大学。”
老师又拿起了书签，指着“清华大学”这四个大字：“大家应该都知道，北大清华是我国的最高学府，给同学们送这份礼物，一是希望同学们能多读书，二是祝愿同学们都能考上梦寐以求的好大学！”
同学们陷入了沉思……

七、我的精彩生活

我的生活丰富多彩。你看，从每周一到周五，背着书包来到美丽的校园，走进宽敞明亮的教室，在亲切博学的老师们的教导下，和活泼又聪明的同学们走进知识的殿堂，尽情的遨游在生动有趣的语文课中，趣味横生的数学课中，强身健体锻炼意志的体育课中，奇妙的科学课中，异国特色的英语课中，悦耳动听的音乐课中。课后，我又和同学一起在灿烂的阳光下做着广播体操，跑步，跳绳，踢毽子，打球等等，一直到满头大汗也不想停下来。
我还有很多的兴趣爱好。我喜欢到网上搜索观看我喜爱的动漫，电影和课外书籍；摆弄惟妙惟肖，造型功能各异的变形金刚；在晴朗的日子里，我和爸妈每人骑着一辆自行去游文化园，看博物馆，散步到神龙公园，观光湘江风光带，有时再找个宽敞的地方打打羽毛球；我喜欢用精巧古典的小提琴，拉着优美的《小步舞曲》，欢快的《新春乐》，柔情如歌的《渔舟唱晚》，甜蜜的《生日快乐》，还有令我终生难忘的，是和其他学校的同学一起参加的文艺汇演节目，演奏的歌曲有积极向上的《花儿与少年》，红太阳照着流进湘江的《浏阳河》，歌唱美好生活的《春节序曲》等。但是我最喜欢的是看书。
我有许多书籍，它就像块大磁铁，深深地吸引着我，它成了我生活中必不可少的一部分。我经常沉浸在书堆里，有时到了吃饭的时间，爸妈和奶奶都叫我吃饭，我也舍不得放下它。嘿嘿！你如果瞧见了，也会和我一样的。不信，你看！有诙谐有趣的故事书，有诉说中国时代演变历程的厚厚的《中国通史》，展现整个中国历史面貌的《上下五千年》，有长篇悬疑推理故事《神探狄仁杰》，有让人看了义愤填膺又热血沸腾，深深感叹今天的幸福生活来之不易的《红岩》，有描述同龄小说的，班主任推荐的《窗边的小豆豆》，《草房子》，《城南旧事》等，有中国永恒的经典名着《三国演义》，《水浒传》等等，还有告诉我应该在幸福的时光里努力学习科学文化知识的外国名着《童年在人间我的大学》，告诉我要珍惜生命并为理想去顽强奋斗的《钢铁是怎样炼成的》等等。书就像阳光和雨露，滋润着我慢慢成长；书就像指南针，告诉我前进的方向。
这就是我的精彩生活。我要精彩的活着。

八、再怎么幸福，请不要忘记好友

记得曾经，我们都经历过那些死党一堆的高中。
这个世界，这样一个人真的很难找到。
也记得曾经，我们快乐的在一起。
纯真的高中时代，象白纸一样的天真。
就因为晚自习看电影，我们一起笑。
就因为自习课没老师，我们一起闹。
就因为多了场考试，我们一起愁。
就以为周末又没休息，我们一起怨。
我知道你的简单，你的纯洁。
你知道我的期待，我的苦楚。
你可以看透我，但你依旧喜欢我。
我不能把握你，但我不能寻找不到你。
直到因为有一天，所谓的死党一个个散去。
直到有一天，我们再也不能这么简单地看问题。
直到有一天，友谊被各种界限分隔。
如果在这一天，是你依旧守护在我身边。
告诉我你对我的眷恋，你对我的热情。
如果这一天，是你依旧没有忘记我们的约定。
告诉我你的忧虑，你的无奈。
如果这一天，是你依旧会期待我的出现。
回忆我给你的快乐，你给我的时光。
那么你或许就是我在找的那个朋友。
或许你和我很相似，或许你和我很投机。
但最重要的是，在时间的洗刷下。
你没有变质，你依旧给我最初的美好。
在那一天我发现身边太多的人已经失去了曾经的样子。
当那一天我发现曾经给自己安慰的人竟然会如此漠然。
却发现你的微笑，你的热度始终没有变。
那么你真的就是我要找的那个人。
因为在时间的沙漏里，纵使你踩碎了春霄。
却没忘记我和你牵过的手。
当这一天，我们不能相信这个世界。
当这一天，我们还拥有着幸福的潜力。
当这一天，我们突然发现过去的纯真根本回不去。
当这一天，我们突然发现自己后悔过一些事。
那么我想珍惜这个永远的你。
是不是，你可以对我说。
不管时间过了多久，我依旧会这样喜欢你。
是不是，我可以对你说。
哪怕我们已经满头白发，我也不会忘了你拉住我的手的感觉。
不会忘记你给我的每一个笑容；
不管发生什么事情，不要忘了我们的友谊好吗？
哪怕你拥有了幸福的爱情，也不要忘记。
或许你幸福的时候，不会想到我的挂念。
或者我承认，我曾经快乐的时候，也忽略了你。
所以我把心情告诉你。
所以我把笑容告诉你。
不在身边不代表不爱。
有些人在记忆里是快乐的，但他却注定要最后消失。
而如果有些人能在你身边呆很久，那最后留下来的那一个，便是最好的．
也许到最后，到最终孤独的时候，我们依旧可以回到过去的美好。
曾经的友谊，如今依旧怀念、依旧不能释怀！
我好想你们，真的好想好想你……
希望会有缘再次相聚在一起！
朋友！你是我最大的幸福！

九、这件事发生在我们班里

自从学“圆”一章以来，数学课堂总是叽叽喳喳的，好像永远不会安静下来。老师发现那是同学们彼此借用圆规，于是宣布：人人都要有圆规。第二天上课时，教室里鸦雀无声，上了一堂好课。可第三天，“笃、笃、笃”的声音此起彼伏，原来是同学们趁老师不注意时用圆规练飞镖。无奈，老师规定：手不可以乱动。
上课不行，下课玩可没人管事吧。一下课，教室里就热闹了。课桌、讲台、门都变成了“飞镖靶”，而圆规则变成了飞镖。瞧，各位身怀“飞镖绝技”的武林豪杰大显身手，都在“华山论剑”，不分上下。耍得最起劲的要数自诩为“小李飞刀”的李小龙了。你看他，右手捏着一只圆规脚，双目微闭，手上下摆动比划，两腿叉成“圆规”样，随着“嗖”的一声，“笃”，圆规钉在记有红心的点上，小龙自豪地笑了，可并没有多少人附和。“不如再露手更漂亮的绝活让大家瞧瞧，开开眼界！”小龙心想。于是他漫不经心地站着，突然一个燕子翻身又似蛟龙出海，手臂一扬，圆规在空中划出一道优美的弧，又被定格在那红心上。“哗哗哗……”掌声一片，“好，好……”喝彩声不断，同学们都说“小李飞刀”名不虚传。
听到赞美声，小龙更是玩兴大增。“笃笃笃……”可怜的圆规遭受一次又一次同样的命运。正在闹得不可开交时，上课铃响了，小龙来不及拔下圆规，飞也似跑回到自己的座位，刚落座，门被推开，老师站在门口，扫视了一眼，顺手关上门。“铛”圆规被震落在地上。“谁？”老师发怒了，站起来！教室里一片宁静，没有人回答，小龙挪了挪身，刚想站起来承认，可一触到老师那双快喷出火来的眼睛，头马上低下，一动也不敢动了。时间分分秒秒过去，老师只好妥协，说：“圆规暂由我保管，下课后玩圆规者到办公室领取。”小龙重重地嘘了口气，刚好被老师听见。老师奇异地盯了他一眼，小龙不由全身一颤，心想：“这回我可要玩完？rdquo;
下课后，小龙被叫到办公室，许久许久才被放出来。出人意料的是，小龙并不是像挨了批评似的，而是一副心事重重的样子，满脸捉摸不透的神情。也许是老师的话使他震撼，让他懂得了许多，也让他改变了许多……

十、数学常用公式大全

高中数学常用公式大全
1.元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.
4.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
5.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：（可画图解决问题）
(1)当a0时，若，则；
，，.
(2)当a0时，若，则，若，则，.
7.真值表
ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假
8.常见结论的否定形式
原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或
9.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题
若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ
10.充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
11.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
12.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。
15.几个函数方程的周期(约定a0)，则的周期T=a；
16.分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
17．根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，；当为偶数时，.
18．有理指数幂的运算性质
(1).
(2).
(3).
注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
19.指数式与对数式的互化式
.
20.对数的换底公式
(,且,,且,).
推论(,且,,且,,).
21．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2);
(3).
22.数列的同项公式与前n项的和的关系
(数列的前n项的和为).
23.等差数列的通项公式；
其前n项和公式为.
24.等比数列的通项公式；
其前n项的和公式为或.
25.同角三角函数的基本关系式
，=，
27.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
28.和角与差角公式
;
;
.
=
(辅助角所在象限由点的象限决定,).
29.二倍角公式
.
.
.
30.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
31.正弦定理.
32.余弦定理
;;.
33.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
34.三角形内角和定理
在△ABC中，有
sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)
35.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
36.向量的数量积的运算律：
(1)a·b=b·a（交换律）;
(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;
(3)（a+b）·c=a·c+b·c.
37.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
38．向量平行的坐标表示
设a=,b=，且b0，则ab(b0).
39.a与b的数量积(或内积)
a·b=abcosθ．
40.a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积．
41.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
42.两向量的夹角公式
(a=,b=).
43.平面两点间的距离公式
=
(A，B).
44.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
Abb=λa.
ab(a0)a·b=0.
45.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
46.三角形四“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
47.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）.
48.均值定理
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
49.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
50.含有绝对值的不等式
当a0时，有
.
或.
51.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;
52..斜率公式
（、）.
53.直线的五种方程
（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式(b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式()(、()).
(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式(其中A、B不同时为0).
54.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；
②；
55．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
56.点到直线的距离
(点,直线：).
57.或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
58.或所表示的平面区域
设曲线（），则
或所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分；
所表示的平面区域上下两部分.
59.圆的四种方程
（1）圆的标准方程.
（2）圆的一般方程(＞0).
60.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
61.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
62.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
63.椭圆的标准方程及简单的几何性质
64．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
65.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
66.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
67.抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
68.抛物线上的动点可设为P或P，其中.
69.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或AB=
（弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.
71．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
72．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
73．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
74．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
75．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
77.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．
三点共线.
、共线且不共线且不共线.
78.球的半径是R，则
其体积,
其表面积．
79．柱体、锥体的体积
（是柱体的底面积、是柱体的高）.
（是锥体的底面积、是锥体的高）.
80.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
81.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
82.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)=P(A)·P(B).
83.n个独立事件同时发生的概率
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
84.回归直线方程
，其中.
85.相关系数r
r≤1，且r越接近于1，相关程度越大；r越接近于0，相关程度越小.
86.函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
87.几种常见函数的导数
(1)（C为常数）.
(2).
(3).
(4).
(5)；.
(6);.
88.导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
89.判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
90.复数的相等
.（）
91.复数的模（或绝对值）
==.
92.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).