高中数学教材推荐，高中数学教材推荐书目

　　《基础知识精练》

　　这本书，适合高一、高二的学生使用，这本书是以知识点为核心编写的一本书，在书中把知识点按照重要程度进行了划分，这样就可以更好的帮助学生记忆知识点。《基础知识精练》是一种比较容易理解并记忆的一章内容，这本书适合高一、高二的学生使用。《基础知识精练》每单元由四个部分组成：1、数学思想与方法2、基本概念与性质3、重要公式与定理4、例题与习题。《高考数学真题精析》

　　这本书是由名师根据高考真题编写而成的，它能够帮助考生在考试中发现问题，并且帮助考生分析问题出考点。

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一、人教版数学《圆的标准方程》

课题：“圆的标准方程”
教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”的第一课时
一、教材分析
在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用同时，
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。
依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。
二、学情分析
此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r（尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。
三、教学目标
根据以上分析，制定以下教学目标：
知识目标：
1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.
能力目标：
1．通过圆的标准方程的探究过程使学生对用代数方法解决几何问题的一般思维过程与模式加深认识；
2．通过例题分析和练习巩固对用待定系数法求解曲线方程的基本步骤与思维过程的理解和运用。
3.通过运用多种方法对例题进行分析使学生掌握几何性质（切线性质）对优化计算的作用，加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
情感目标：
1、通过对圆的标准方程的学习，让学生感受数学的美（形态美、和谐美）；
2、通过运用圆的知识解决实际问题的学习，让学生体会理论来源于实践。
四、教学重点．难点
教学重点：圆的标准方程模型的探索、标准方程的求解及其应用.
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程
五、教法分析
为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题其基本教学模式是：
本节课的难点是运用待定系数法求圆的标准方程，对学生而言最难的地方就在于方法的选择。所以我准备在例题的讲解让学生对几种方法进行对比，然后让他们通过自己的亲身感受来体会各中的优劣，他们根据自己的实际情况来选择适合自己的方法。
六、学法分析
基础教育课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从复习引入→情景创设→深入研究→获得新知→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。
七、教学活动设计
（一）动画引入，创设情境
【设计意图】
由我国古老而神秘的太极图引入课题
让学生感受圆优美的几何属性和我国
博大精深的古代文化，激发学生的学
习热情。
师：太极八卦图是中国古老的文化科学遗产，是中国古代劳动人民智慧文明的结晶。它不但在古代为人民建树了不可磨灭的功勋，就是在现代也做出极重大的贡献。1930年一月美国天文学家汤保发现了太阳系的第九颗行星冥王星。旋即有人提出，太阳系有没有第十颗行星呢？由于冥王星发现不久，观测数据还不精确，预测第十颗行星的努力接连遭到了失败。当时在法国勤工俭学的只有二十七岁的中国人刘子华，他发现太阳系的各星体与八卦的卦位，存在着对应关系。他依据这个关系，利用天文参数进行计算，算出了第十颗行星的平均轨道运行速度为每秒二公里，离太阳的平均距离为74亿公里，按照希腊神话命名原则，在冥王星后面的叫做“木王星”。刘子华把自己的预测，写成了题为“八卦宇宙论与现代天文”的论文，交给了法国巴黎大学，作为考取博士学位的论文。论文获得了一致的赞赏，1938年正式授予刘子华法国国家博士学位。这是中国科学家在现代运用太极八卦图，做出的震动世界的伟大贡献。
师：今天老师就将和同学一起用代数
的方法来研究圆这种优美的曲线。
【给出标题】圆的标准方程
（二）提出问题，尝试探究
问题一：已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求这个圆的方程。
师：清同学们利用所学方法解决问题一。
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方案一：学生处理得很好，让学生来讲。
方案二：学生不能处理，则将题目变一下，再让学生处理
问题变式：一个动点到原点的距离等于5，求这个点的轨迹方程。
【设计意图】
充分调动学生的积极性和主动性，从这里也可以进一步了解学生的实际情况，对后续内容的处理会更贴切。
师：同学们是用什么方法求出圆的方程的呢？
生：用的是解析法
师：这个方法的一般步骤是：建系、设点、列式、化简四步曲。
【设计意图】回顾复习用轨迹思想求曲线方程的一般步骤。
师：若半径发生变化，如半径为6，圆心在原点则圆的方程又是怎样的？
生：x2+y2=36
师：一般的，半径为r，圆心在原点的圆的方程形式是怎样的？
生：x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2表示是特殊位置的圆，称为原点圆，那么一般地，圆心在任意一点C（a,b）点，半径为r圆的方程又是怎样的？
【设计意图】遵循循序渐进的原则，从特殊到一般，逐步将问题深入。
（三）特殊到一般，建立方程模型
问题二：设圆心为C，半径为，求圆的方程。
【学生活动】探究圆的方程。
【教师预设】
解：设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2
【设计说明】再次熟练解析法，得出一般的圆的标准方程
师：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。特别地，当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
从这种形式中可直接得到圆心和半径的信息，反之知道圆心和半径也就可以直接写出圆的标准方程，所以我们在求圆的标准方程时，可先设出圆的标准方程，再想办法求出未知系数，这种方法就是待定系数法。
（四）应用举例
例1、根据圆的方程写出圆心和半径
（1）；（2）．
圆心(2,3)，半径圆心(-2,0)，半径2
例2、写出下列各圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3；x2+y2=9
（2）圆心在，半径为；(x-3)2+(y-4)2=5
（3）经过点，圆心在点．(x-8)2+(y＋3)2=25
【练习】已知点A(-4，-5），B(6，-1)，求以AB为直径的圆的方程.(x-1)2+(y+3)2=29
【设计意图】基础练习，巩固、加深对圆的标准方程的理解。
例题3、求以为圆心，并且和直线相切的圆的标准方程.
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方法一：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
方法二：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
由直线3x-4y-7=0与圆相切，所以联列方程组有且只有一组解
即联列方程组消去y得：25x2-146x+377-16r2=0
由△＝1462－4×25×(377-16r2)＝0，解得：r＝
因此，所求的圆的方程是
【学生可能出现问题】确定半径有困难，注意引导学生观察图象，
【设计意图】熟悉待定系数法，初步体会运用圆的几何性质（切线性质）对优化计算的作用，借此强化数形结合思想。
例题4．已知圆的方程为，设直线与圆相切于点，求直线的方程．
师：你打算怎样求过M的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师：这仍然是待定系数法的思想，关键是斜率怎样求？
【学生活动】探求切线方程
【教师预设】
方法一：设所求直线的方程为y－4＝k（x－3）即
kx－y－3k＋4＝0
由题知：圆心到切线的距离等于半径，即
，解得：
∴过点M的切线方程为：，即
方法二：∵点M（3，4）在圆x2＋y2＝25上，
∴半径OM与切线l垂直，即
∵∴
∴过点M的切线方程为：，即
【设计意图】运用圆的标准方程解决切线问题，进一步的运用圆的性质和待定系数法。
【备用】圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0
师：注意观察，在切点坐标与切线方程之间存在密切的关系，你发现了吗？
（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想太迷人了，那么可否给出证明？
生：。。。。。。【思考】
师：这个问题作为思考题留给同学们下课后独立思考解决好吗？
生：好
【设计意图】让学生从特例中观测、总结出一般化的结论，培养学生观察概括的能力，让学生体验发现规律的成功感觉，有利于激发学习热情。
【根据实际情况选用】
例题5：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）．
【设计说明】引导学生分析，共同完成解答。师生分析：建系；设圆的标准方程（待定系数）；求系数（求出圆的标准方程）；利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立坐标系。则圆心在Y轴上，设为（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面用待定系数法求b和r的值：
P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5,r2=14.52
圆的方程为x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取y0得：
≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
【设计意图】将所学的知识用来解决实际问题，提高知识的运用能力，让学生体会数学源于生活，又反过来为我们解决许多生活中的问题，提高他们对数学的认识和兴趣。
（五）反馈训练
1．求圆x2＋y2＝13过点（-2，3）的切线方程.-2x+3y=13
2．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。(x+1)2+(y+5)2=1
3．求圆心在直线上，且与直线切于点（2，-1）的圆的标准方程
解：设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆与直线相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于的直线：上，
，即圆心为C（1，-2），=,
∴所求圆的方程为：
【设计意图】巩固、测试本节课的目标。
【备用题】
求圆心在y＝－x上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的标准方程。
解：设圆心坐标为()，则所求圆的方程为,
∵圆心在上，∴①
又∵圆过（2，0），（0，-4）∴②
③
由①②③联立方程组，可得
∴所求圆的方程为
【设计意图】如果学生的基础很好、时间允许的情况可以使用，以备不时之需。
（六）课堂小结
本堂课我们利用解析法探索了圆的标准方程，进而用待定系数法求解圆的标准方程，在这个过程中我们得到了以下结论：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
(2)求圆的标准方程的方法：待定系数法；找出圆心和半径
(3)已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
（七）课后作业：
巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
思维拓展型作业：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？
2、方程：的曲线是什么图形？
3、已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合
即,
整理得：
所求曲线方程即为：
将其左边配方，得
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示
圆的标准方程
方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。问题一、…………例2、…………
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
注意：问题二、…………例3、…………
①从标准方程中我们可以直接得出圆心坐标和半径
②要确定圆的标准方程只需要确定a，b，r三个独立变量就可以了问题三、…………例4、
小结：
①圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：练习
当圆心在原点时，圆的标准方程为：例1、…………作业
②求圆的方程的方法：待定系数法（找出圆心和半径）。
（八）板书设计
八、教学（后）反思
1、教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用（待定系数法求圆的标准方程）。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，从特殊一般引导学生探究获得圆的标准方程，让学生体会这种数学的探究方法。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，让学生自己体会各种方法的优劣，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用“引导探究”型教学模式把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．感受了数学的美、培养了兴趣、增强了信心。
2、教学预设与生成的差距与原因
本节课上下来基本上完成了我所预设的教学内容，当然有些地方未能完全实现自己的想法。如：过圆上定点的切线方程的猜想的证明，本来准备让学生自己完成的；例题的设计本来是准备围绕待定系数法这一重要的数学思想方法展开，但因为时间关系只能一带而过；最后的课堂小结本来准备让学生自己将本节课的探究过程进行及所得结论回顾等都没有得以实现。我反思整节课发现问题出在前面的几个环节的节奏把握上，具体的说：引入部分说得太多，实际上可以用多媒体演示出来让学生看，老师只提一下就行了；圆的标准方程的探索过程比较简单，不需要举这么多的例子，实际上可以将四个例子浓缩为两个：“圆心确定（0，0）、半径确定2”；“圆心任意（a，b），半径任意r”即可。我想如果前面紧凑一点，那么后面自己的很多想法就能得以体现，这堂课的效果会更理想的。
3、感受最深事件（成功与失败）的缘由与启示
在这次课堂大赛中让我学习到了许多东西，如：如何写教学设计。让我感受最深的是“向课堂40分钟要效率的关键在于课堂节奏的把握”，一节课你在课前准备得再怎么充分，如果课堂上你没有把握好节奏，那么所有的准备可能都是在做无用功。
4、对某些问题的进一步认识与总结
结合这次赛课的自身体会和听另一位老师的课的感受，我想自己对“学法指导”有了进一步的认识，我感到“学法指导”应该融入课堂的各个环节，如：课堂上该怎么过手训练；怎么与同学、老师进行交流；该怎么去探索发现新知；一堂课所学知识与方法该怎么来总结记忆等。在课堂上给予学生好的“学法指导”可以大大提高课堂效率。
5、有价值的待研究的问题
结合准备阶段的想法、上课的感受及效果、课后评委老师的指导，我认为“如何发挥例习题的作用，以使教学目标得以达成”是一个有价值的待研究的问题。关于这个问题我会在今后的教学中不断总结、提炼，我想一定会的我的教学带来很大的帮助的。
就本节课为例，因为圆的标准方程的概念不难，所以本节课的重点应该放在夯实基础上。为此目的，我们可以在原例1的前面再加一个判定方程是否为圆的标准方程，然后再用例1，例2，……。这样可以更好的让学生理解和掌握圆的标准方程的结构特征、性质特征及其运用。

二、18学年数学不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版选修4

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内部文件，版权追溯
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§3平均值不等式
[对应学生用书P12]
1．定理1
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号．
2．定理2(两个正数的平均值不等式)
对任意两个正数a，b，有≥，当且仅当a＝b时取“＝”号．
我们称为正数a与b的算术平均值，为正数a与b的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
3．定理3
对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
4．定理4(三个正数的平均值不等式)
对任意三个正数a，b，c，有≥，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
5．定理2,4的推广
一般地，对n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，数值，，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值．且有：≥.
当且仅当a1＝a2＝…＝an时，取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
1．如何利用求差法证明定理2?
提示：因为－＝≥0，
所以≥.
2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？
(1)＋≥2(a，b同号)；
(2)≤≤≤(a，b∈R＋)；
(3)ab≤2≤(a0，b0)．
提示：可以．
3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？
提示：“一正二定三相等”．
[对应学生用书P13]
用平均值不等式证明不等式
[例1](1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；
(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[思路点拨]本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．
[精解详析](1)a4＋b4≥2a2b2，
同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，
将以上三个不等式相加得：
a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，
即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当a＞0，b＞0时，a＋b≥2，
∴＋≥2＝2c.
同理：＋≥2＝2b，
＋≥2＝2a.
将以上三个不等式相加得：
2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．
若将本例(1)中a，b，c∈R，变为a，b，c∈R＋，
求证：a＋b＋c≥＋＋.
证明：∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2，
即a＋b＋c≥＋＋.
1．已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：
＋＋≥.
证明：因为abcd，
所以a－b0，b－c0，c－d0.
所以(a－d)
＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
≥3×3＝9.
即＋＋≥.
利用平均值不等式求最值
[例2](1)已知x0，y0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
(2)求函数y＝x2(1－5x)的最大值．
[思路点拨]本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x2(1－5x)改变成三项积x·x，再对它使用平均值不等式，即可获得所求．
[精解详析](1)法一：∵x0，y0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
法二：由＋＝1得(x－1)(y－9)＝9(定值)，
可知x1，y9，
而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10
＝16.
所以当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)y＝x2＝x·x，
∵0≤x≤，∴－2x≥0.
∴y≤3＝.
当且仅当x＝x＝－2x，即x＝时，ymax＝.
利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．
2．(新课标全国卷Ⅰ)若a0，b0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于46，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
3．已知x∈R＋，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)
＝x·x·(2－2x)×
≤3＝×＝.
当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．
此时，ymax＝.
本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力．
[考题印证]
1．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()
A.B.
C．5D．6
[命题立意]
本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力．
[自主尝试]
∵x＋3y＝5xy，
∴＋＝5，
∵x0，y0，∴(3x＋4y)＝＋＋9＋4≥2＋13＝25，
∴5(3x＋4y)≥25，
∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．
∴3x＋4y的最小值是5.
[答案]C
2．(新课标卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.
证明：(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
[命题立意]
本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力．
[自主尝试]
(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤，
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立．
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即
＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
[对应学生用书P15]
一、选择题
1．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是()
A．b＜2ab＜＜a2＋b2
B．2ab＜b＜a2＋b2＜
C．2ab＜a2＋b2＜b＜
D．2ab＜a2＋b2＜＜b
解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴0＜a＜b＜1，
∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b.
故2ab＜a2＋b2＜b＜.
答案：C
2．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的()
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()
A．3B．4
C.D.
解析：∵2xy＝x·(2y)≤2，
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
又x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.
当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
答案：B
4．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为()
A．(－∞，－9]B．(－9,9]
C．(－∞，9]D．[9，＋∞)
解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.
又x∈，∴t∈(0,1)．
不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，
而y＝(1－t)
＝17－≤17－2＝9，
当＝16t，即t＝时取等号，
因此原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：D
二、填空题
5．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．
解析：原式＝x2＋＋y2＋＋＋.
∵x＞0，y＞0，
∴原式≥2·＋2·＋2＝4，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
答案：4
6．已知a，b∈R＋，则≥________.
解析：
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋6＝9.
答案：9
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．
解析：∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴a0.∴c－＝0.∴c＝.
∴＋＝a2＋a＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
答案：4
8．x，y0，x＋y＝1，则的最小值为________．
解析：＝xy＋＋＋，
因为x，y0，且x＋y＝1?xy≤.(当且仅当x＝y＝时取等号)
以xy为整体，xy＋在(0，]上单调递减，
故xy＝，min＝，当且仅当x＝y＝时取得，
对＋≥2＝2，当且仅当x＝y＝时取得，
故的最小值为.
答案：
三、解答题
9．设a，b，x，y∈R，且有a2＋b2＝3，x2＋y2＝6，求ax＋by的最大值．
解：∵a2y2＋b2x2≥2aybx，
∴(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，
当且仅当ay＝bx时取等号．
∴ax＋by≤＝3，
当且仅当ax＝by且a2＋b2＝3且x2＋y2＝6时，等号成立．
10．(江苏高考)已知x0，y0，
证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
解：因为x0，y0，
所以1＋x＋y2≥30，
1＋x2＋y≥30，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
11．x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解：∵x＋y0，a0，b0且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2.
当且仅当＝时取等号，
此时(x＋y)min＝(＋)2＝18.
即a＋b＋2＝18.
又a＋b＝10，
联立
解得或

三、数学

总事件， 分事件，求概率。
且或非， 原逆否，断真假。
线线面面，几何图形，三维空间。
X Y原点，函数图形，千变万化。
不等方程，相互联立，区域求解。

四、荐书《幻想数学大战》

不知道家长们有没有这种感觉：孩子不愿意看文字书，对漫画倒是乐此不彼，什么《豌豆》啊，《阿衰》啊，什么《口袋宝贝》啊等等，你并没有让他看，它却拿起来不放下，而你要求他看的比如什么《精品作文选》、《十万个为什么》此类增长知识的书籍时，它却定不下心来。
说到这里，好多家长可能颇有同感，感叹要是孩子学习的劲头哪怕有看漫画书的一半就好了。看漫画=学数学？开什么玩笑？你还别不以为然，还真有这么一套书，发现这套书是源于两年前的大学同学聚会，因为孩子都是同龄，说起了孩子的读书问题，同学就向我推荐了这套《幻想数学大战》，当时还只有5本，两年过去了，现在已经到了20本了。
这套书是由韩国大名鼎鼎的儿童筑梦团队“图画树”绘制而成。自创办以来，他们一直致力于为儿童策划既有趣又有益的教育类实用图书。让孩子们在快乐中成长并吸收知识。是首部数学与漫画完美结合的经典之作。就连著名数学家、北大教授张顺燕，北师大教育管理专家牛志奎、中国著名童书阅读推广人徐榕，韩国最权威的初等数学教育研究会都在强力推荐呢。其中韩国初等数学教育研究会是这样推荐这本书的：只要理解了原理，数学完全可以成为一门非常有趣的学问。该书借助漫画这一特殊平台，巧妙地把数学概念展示给小读者们。这样的方式可以帮助少年读者更好地理解看似深奥的数学原理，从而了解到数学的趣味性。我们希望，漫画的形式能让更多的孩子爱上这本不可多得的数学学习书。另外，我们还期待《幻想数学大战》能激发孩子们对数学的无限兴趣，在享受数学本身的同时，也掌握最佳的学习方法。
漫画故事的是这样开始的：在这个已逐渐遗失在人们记忆中的美丽大陆——亚特兰蒂斯，至今还流淌着无数的传说。亚特兰蒂斯的正北方，有一个神秘的数学世界，这里的万物皆由数值组成。在一千年前的数学大战中，勇敢的精灵和聪明的人类，联合善战的杜沃夫勇士们击败了无限魔王，并用7个封印囚禁了这个大魔头和他的军队，从而拯救了数学世界。千年之后，封印被破坏，亚特兰蒂斯再度陷入魔王复活的危机中。魔法师美娜受命前往人类世界，寻找一位热血少年，他的身上流淌着千年前拯救过数学世界的X骑士之血。可偏偏神符找到的X奇士之血继承人——知修，却是一名到了小学三年级，还不会背诵小九九乘法口诀的淘气包小学生。到底知修是不是传说中的X骑士传人呢？知修能不能成为真正的X骑士，拯救即将被黑暗笼罩的数学世界呢？——于是一个又一个的悬念开始了……
孩子爱看这套漫画，而且不厌其烦地一遍又一遍地看，它每册内容和小学数学新课标知识点相应，激发孩子数学学习兴趣，在课堂已经学会了一些数学知识，但是对数学各个知识点的把握还很分散，有些理解起来很困难。这套图书把抽象的数学概念变成了一个个形象的人物，连续有趣的故事，孩子在读的过程中，能够消除对数学的恐惧感，加深理解加减乘除、分数、负数等等。
我的孩子已经读过15本了，当然已经牵扯到了函数，有些深奥，知识点有些一知半解，但是一旦接触到学习的课程，他会很容易理解。比如他一年级时就知道借位减法是什么意思，也知道分数的意义，负数是什么等等。我从来没有辅导过孩子的数学，对于数学问题他处理得很轻松，我觉得很是得益于这套书，所以我也向各位家长推荐这套书。顺便告述大家，书店里可没有哦！网上买的哦。

五、《简单教数学》读后感

本次暑期读书活动一共发了三本书，书一发下来，我的眼球就被这本书的题目吸引了。简单教数学，这不正是我们一线教师苦苦追寻的么？一有空闲时间就迫不及待的读，想从书中学到一些有效的方法，能够促进自己的教学。
翻开目录，看到戴老师从简单教数学的六个三、简单教数学如何达成和简单教数学这么来达成三部分来阐述，里面的每个小点都分三个方面来讲，可以看到数学教师所特有的简洁美。
“数学，简单地教，到底是为了什么？为了学生的成绩，这是每个一线教师都必须直接面对的现实。为了学生数学思维和素质的发展，这是每个一线教师都不可回避的教学目标。”戴老师就这样娓娓道来，真诚的话语拨动着我们一线教师的心弦。
众所周知，要达成以上两个目标，教室门有两种选择：一种是靠“量”，加班加点，加重学生的负担，让学生被动地学习；另一种是靠“质”，提高课堂效率，让学生快乐的学习。就算我们教师在平时的教学过程中无奈的选择了第一种，其实在心里，哪个教师不想选择第二种呢？这样学生能够“快”“乐”的学习，我们教师自己也会轻松不少。认真的看了戴老师的书后，结合自己的教学实际，我将在下学期做以下三点尝试：
一、落实学生主体性原则
戴老师把学生的发展区细分为三个层面：一是学生能独立完成的智力任务，二是通过学生之间的互助能完成的学习任务，三是学生独立或合作都无法完成的学习任务。那么，学生能独立完成的，就让他们自己完成，学生能合作完成的，就让他们合作完成，教师的教只承担20%的任务就可以了。
在以后的课堂中，面对新知，我要多说“你会吗？试试看。”鼓励学生去尝试，通过尝试，我就能比较准确的了解哪些学生掌握了，哪些学生还有困难。其次，组织小组交流，让会的和不会的同学展开讨论，交流成功的经验，分析失败的原因，提炼解决问题的方法。这样适当放权给学生，让学生成为课堂教学的主人，而教师只要动脑经激发学生去完成那80%的任务，帮助他们掌握他们无法完成的20%的任务就可以了。如果坚持这样，相信教学会简单的多。
二、教学环节“少”而实效
教学环节“少”一些，可以聚焦课堂教学的核心内容，节省课堂教学的时间，留出更多的时间给学生去思考。戴老师一般设计三个教学环节：一是导入，二是探究或讲解，三是练习。导入做到快而趣，探究做到慢而透，练习做到精而活。在时间上，戴老师是这样安排的：导入一般不超过3分钟，探究一般不超过15分钟，其他时间都用在练习和作业上。虽然我们小班一直在提倡把课堂的10到15分钟时间用在作业上，但是戴老师把半节课的时间用在作业和练习上，还是出乎我的意料的。这说明要学好数学，一定量的巩固练习是必须的，但为了减轻学生课外负担，我们要尽量压缩课堂，提高课堂效率，让学生把作业在课堂完成。其实在之前的教学过程中，我就已经尝试让学生把《课堂作业本》在课内完成。优点是学生独立完成作业时，教师还能对学困生做个别辅导，批改学优生提前做完的作业，从而更加全面的掌握每一个学生当堂的知识掌握情况。遇到的困难是怎样提高课内前20到25分钟的效率？戴老师的话，给了我一个方向，他说：应该尽快进入主题学习，探究的形式不易过多，应该追求纵而深入，做到“透”，而不是横向走过场。
三、落实课内批改
戴老师通过调查发现：教师们花在课后作业批改上的时间最多，这也是最无趣的一项工作，因为批改的作业是相同的，等于重复劳动。班级学生有多少个，教师一次就要批改多少份作业。如果教两个班，就有双倍的作业要批改。
自从我们学校实施学生作业面批百分百以来，课内学生有10到15分钟的作业时间，我也有时间批改学生的作业，学生做完一个批改一个。可是在大部分的课堂上，我只能改完一部分学生的作业，还有一部分做得慢的学生的作业根本就来不及批改，而且在批改的过程中，一看后面长长的批改队伍，就恨不得自己能变身。我们在这边热火朝天，可批完作业的学生却无事可做。
戴老师的批改策略是：教师先改完第一个学生的作业，后面的学生作业就有两个人批改，当教师和第一个做完作业的学生各自批改完后面两份作业时，就有四个人加入批改作业的行列……这样，只要全班学生都能按时完成，就完全有可能在下课前批改完全班学生的作业。戴老师的方法其实在我遇到之前的苦难时，也曾想到过，只是因为上学期评五星级学校，一直搞问卷调查，不太敢用，下学期值得一试。
当堂批改的作业当堂更正，当堂更正的作业当堂返改，学生更正后的作业给批改的学生检查，如果还不对，就需要他的帮助，直到理解为止。这样大大提高了课堂效率。
书中还有太多太多值得我们学习的地方，戴老师是这样耐心的、毫无保留的指导我们去达成简单的教数学。这真的是一本好书，是一本值得我们放在案边反复学习的好书，读了此书，一定会有收获。

六、数学读物读后感

读了李毓佩教授写的《数学故事专辑》中的一本，我很喜欢，它用多个生动有趣的童话故事，来讲述一道道难题。我要给大家推荐一本“荒岛历险”上，跟逻辑推理有关的一个故事。

故事的主人公，罗克与两个朋友，在抢夺珍宝的过程中，遇到了这样一道逻辑推理题：有A、B、C三个门，门上分别都贴了两张纸条，第一张都是“海外部经理在此办公室。”

第二张纸条各写的是：A门：B门上是谎言。B门：C门上是谎言。C门：A、B门都是谎言。

这类题目对我有而言有点难，但我还是试了试。你们有没有试一试呢。尝试之后，我开始看李毓佩老师的方法。李毓佩老师写得是：假设真话是1，假话是0……刚读到这，我不禁叫起来：“这多巧妙啊!我怎么没想到呢。”才看了一点，我便打算再用李老师的方法做一遍。做完之后，我发现结果和刚才一样，但是过程不同。你瞧，用0和1来表示真、假话，是不是又简便，又清楚呢!而且还很容易懂。从这以后，我对这类题目有了新的方法，也不再那么怕了。

《奇妙的数王国》是一部数学童话书，是著名的科普作家和数学家李毓佩教授送给我们小朋友的一份礼物。

这本书里一共有十个小故事，《奇妙的数王国》，《猪八戒新传》，《神秘数》，《长鼻子大仙》等等等等。但是，给我印象最深，我最喜欢的，就要数《鹰击长空》了。

故事是这样的.小鹰阿尔法长大了，离开了父母，独自飞向了蓝天，心里高兴极了。但是大雁却告诉他，要成为一只真正的雄鹰，不仅仅要有搏击长空的本领，还要会数学，要心中有数。阿尔法似乎明白了。就在这时，秃鹫说它要帮阿尔法，却接连三天吃掉了阿尔法捕获的食物，饿晕的阿尔法被好心的白天鹅救了，白天鹅狠狠地教训了秃鹫，并教会了阿尔法数学。此后，热心的阿尔法运用自己学到的数学知识，帮忙海鸥妈妈斗败了强盗军舰鸟，结识了伯劳鸟，并在褐马鸡的帮忙下，再次和秃鹫决一死战，凭着自己的勇敢和智慧，打败了秃鹫，成了一只真正的雄鹰。

读完这个故事之后，感觉到数学在生活中无处不在，我必须要把数学学好，像小鹰一样执着，顽强......

最近，我读了一本关于数学的书，书名叫《马小跳玩数学》。这本书很有趣，每一个故事里都有一个数学小题目，这些故事都和我们的生活息息相关。这本书能教我们许多解题的技巧，下面就是一个与生活有关的小故事：巧称重。

一天，马小跳去乡下的爷爷奶奶家玩，他们做晚饭的时候，奶奶发现家里没油了，对马小跳说：“你去粮油店买点油吧，记住，是买300克的油!”马小跳接过油瓶和钱，直奔粮油店。到了粮油店后，马小跳对售货员说：“我买300克的油。”售货员犯了难说：“我们的秤坏了，三天后才能修好。这有个大勺子，能装250克油;有个小勺子，能装200克油。”马小跳刚想走，这时，他想出了一个好办法，连忙对售货员说：“我有个好办法称300克油。”马小跳说道：“我们先把大勺子装满油，再把大勺子里的油倒入小勺子里，小勺子装满后，大勺子里只剩下了50克油，把这50克油倒入我的油瓶中，再把大勺子装满油倒入我的油瓶中，就正好是300克油。”

马小跳付了钱准备走时，售货员又叫住了他说：“没有秤，米也不好称，这有个大米桶，能装5千克米;有个小米桶，能装3千克米。有人卖4千克米我就不好称了。”马小跳说：“先把小米桶装满，倒入大米桶中，再把小米桶装满米，到入大米桶中。大米桶满时，小米桶里还剩下1千克米。接着把大米桶倒空，把小米桶里的1千克米倒入大米桶中，再把小米桶装满米，倒入大米桶中，大米桶里就是4千克米了。”

通过这本书，我明白了许多的解题技巧，学会了用扑克牌算24点的数学游戏、巧切蛋糕以及识别真假硬币等。我觉得在生活中遇到困难时不要退缩，只要认真思考，就一定会有答案。

“初读好书，如获良友。重读好书，如逢故知。”《数学故事》是我刚到手的一本课外书，在读过它以后，它不仅乐趣无穷，还增添了我对数学的热爱。

这本书紧联着我们的生活，从数字、道理、和一些精彩的小故事，它用了许多列数字的方法，使读者更加感兴趣。虽然这些小故事看起来微不足道，不值得一提，但是，这本书给予我们的是知识、是智慧、是力量和热爱。了解了一个小故事，就等于了解了一个精彩的数学发现。

这本书的意义在于它激发了我对数学的热爱，和利用数学为生活其中的社会做出卓越的贡献。就说说数字0吧，我猜大多数人都认为0是个不起眼的小数字，帮助不了我们什么。你们错了，你可以翻一下你所有看的书，都有0，如果说0“丢”了的话，页数就会变得乱七八糟。ｘｘ元的钞票，相信你们都见过，每个人都能说出它的组成，但是，如果0消失不见了的话，就变成了1元，1元和ｘｘ元是相差何远吶？再比如说，一个卖杂品的店主，在批发商城买衣服成本价的ｘｘ元，而他卖出去价是ｘｘ元，丢了0，就变成5元了，这亏的可就大了啊！0能使计算的变得方便，所以，0是数字大家族中，一位必不可少的贵客。

一个个风趣诙谐的故事，配上生动形象的插图，牵动着一个个大道理。这本书开阔了我的眼界，让我更加了解了数学，并且更加热爱数学！

学习了这么久的数学，你知道是谁在创造数学吗？对了，是数学家。可是，你知道一些数学家的故事吗？

翻开宋乃庆的《数学家与数学》，我发现许多数学的有趣故事。有“数学王子”高斯，有认为“数学好玩”的陈省身，还有受到苹果启发的牛顿……

数学在所有的学科中，我不太喜欢。总觉得数学枯燥、无味，不像语文那样生动、有趣。但从《数学家与数学》这本书中了解了好多数学家的成功故事后，看待数学的观点就截然不同了。

陈景润看书走路看书入迷撞树上和连著名数学家哥德巴赫和欧拉也无法解答的世界著名难题“哥德巴赫猜想”，却被刻苦学习的陈景润给攻克了出来，他用自己的勤奋和刻苦摘下了数学皇冠上的明珠。连盲人欧拉也在数学界上做出了伟大的贡献，以他的仔细观察勇于探索、坚持不懈的精神，发明了欧拉公式。

他们的勤奋和刻苦给了我启发，我也爱看书，可都是囫囵吞枣、蜻蜓点水，少了那份用心与毅力。要是自己也能像书中的数学家们一样，语文成绩一定棒棒的。

这本书中数学家的故事颇多，就不一一列举了，通过读这本书，让我认识到做任何事，不论大小，都要仔细认真、勇于钻研、不言放弃，功夫是不负有心人的。

七、数学重要资料

相信熟记以下基本知识点，你一定会旗开得胜！
1、一元二次方程求根公式：
2、a+b、a-b、ab、a2+b2（知二求二）
3、用点的坐标表示线段长：一定要加绝对值
若已知两点A、B的坐标：则AB=右-左、AB=上-下
见坐标、想代入；
见坐标、作垂直（向x轴、y轴作垂直）横平竖直
4、1）双曲线与直线y=±x的交点，到原点距离最近
2）直线y1和双曲线y2
①当y1y2时，cx0或xm
②
③
=
3)已知范围过原点，所求范围：或
已知范围不过原点，所求范围：两边夹
4)函数增减性：反比例函数、二次函数后面没括号，说增减性，一定错，有括号不一定对。二次函数增减性，看对称轴和a的性质：a0时，离对称轴越近，函数值越小，a0时，离对称轴越近，函数值越大（一定要画草图）
5、角平分线+平行→等腰
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3
∴AB=AD
6、线段的中垂线：
见线段的中垂线，作中垂线上的点到线段两端点的距离，则这两个距离相等
7、等腰三角形：
1）等腰三角形两种分类方法：
ⅰ、分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形
若求顶角，则两顶角互补；若求底角，则两底角互余
ⅱ、△ABC是等腰三角形：①AB=AC②BA=BC③CA=CB
工具：用圆规
2）黄金等腰三角形：
△ABC∽△BCD
8、直角三角形：
常用勾股数：
3、4、5；6、8、10；9、12、15
12、16、20；15、20、25；5、12、13
8、15、17；7、24、25注意勾股比的应用
9、相似：
1）等等等?
∵∠1+90°=∠2+90°
∴∠1=∠2
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
2）母子相似图（知二求四）
∠1=∠C、∠2=∠B
在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC
∴BA2=BD·BC、DA2=DB·DC、CA2=CD·CB、AB·AC=BC·AD
10、四边形：熟记所有定义、性质、判定
1）平行四边形为中心对称图形，
等腰三角形（等边三角形）为轴对称图形
等腰梯形为轴对称图形
矩形、菱形、正方形既轴对称也中心对称
任意多边形外角和均为360°
2）等腰梯形：上底=腰，加下列中的
任意一个，则可得到其他结论
BC=2AD，∠A=120°，∠ABC=60°
BD⊥CD，BD平分∠ABC
3）等腰梯形：对角线互相垂直
S梯形ABCD=S△DBE=
4）中点四边形：
原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形
原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形
原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
5）菱形：加对角线，小直角大等腰，特别注意两邻角分别为60°、120°和30°、150°的情况
当∠BAD=60°时，AB=BD，BD：AC=1：
菱形面积S=AB·DE=
当∠BAD=30°时，则DE=
6）矩形：加对角线，小等腰大直角
7）直角梯形：常用辅助线：作高
11、解直角三角形：
1）已知30°的对边求邻边：×
已知30°的对边求斜边：×2
已知30°的邻边求对边：÷
已知30°的邻边求斜边：÷×2
已知斜边求30°的对边：÷2
已知斜边求30°的邻边：÷2×
2）已知直角边求斜边：×
已知斜边求直角边：÷
3）
4）已知腰求底：×
已知底求腰：÷
5）特殊角三角函数值：
sin30°=cos30°=tan30°=
sin45°=cos45°=tan45°=1
sin60°=cos60°=tan60°=
6）正弦：
余弦：=
正切：tan
7)已知一边、一个三角函数：设k法
8）注意转化角的应用
12、在直线l上找一点P使它到已知两点A、B距离之和最小（A、B在直线ｌ同侧）
方法：作出点A关于直线l的对称点C，
连接BC交直线l于P，则点P即为所求
此时，BC即为PA+PB的最小值
或在直线l上找一点P使它到已知两点
A、B距离之差最大（A、B在直线ｌ两侧）
方法同上，BC即为PB－PA的最大值
13、分类：
1）见等腰，想分类
2）见高，想分类
3）相似中的分类
以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似
4）四边形中的分类
以A、B、C、D为顶点的四边形

八、趣味数学读后感

本文是关于读后感的，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

趣味数学读后感（一）

《趣味数学》这本书和它的名字一样有趣。每次我都会被书中的故事情节所吸引。

“奥数乐翻天”讲的是两三个穿插有数学问题的生动小故事；“数学奇趣馆”是有关“头脑黑客”、“无敌计算王”、“布克”、“阿宝”四人之间的故事，并把数学问题蕴含在情节跌宕的故事中，浅显易懂。

我最喜欢的还是“数学名人堂”。

每一期“数学名人堂”都会告诉读者一位数学家从小时候不喜欢上学到最后成为数学家的故事。每一期故事，我都认真阅读，因为书里讲的每一位数学家他们从小对数学充满了热爱，虽然不喜欢考试，有时甚至逃学、旷课，可对知识的渴求和执着引领着他们，最终登上了成功的顶峰，成为了着名的数学家。

我最感兴趣的就是“三秒给答案，不给是笨蛋”这个版块。数学知识有一定的规律性，这个版块主要就是教给大家同类题的做题规律。每一类型题只要找对了规律，甭说三秒，一秒就能说出答案。

最令我疑惑不解的就是“神秘的旅行”。编辑叔叔们列出的这些题目都是重量级的难题，需要我们认真思考、研究，然后把答案寄给《趣味数学》编辑部，如果正确，就能当上“探秘骑士”。以后，我要努力学习数学知识，争取早日当上“探秘骑士”。

《趣味数学》已经伴随我好几年了，让我们在趣味中学习，在快乐中进步。《趣味数学》是本好书，是我学习中的良师益友。它使我的学习充满乐趣，也使我变得热爱思考。

趣味数学读后感（二）

说起这“趣味数学”我就有些激动！从女儿开始学习“趣味数学”第一节课的那天起，就发现了一个有趣的现象，女儿每天不管忙或不忙，但凡有片刻闲工夫，第一件事情就是喊着要做那个“趣味数学”即使睡觉前趴在床上都会做几页的，看着孩子前所未有的专注和投入，我几乎不相信自己的眼睛。女儿对任何事物的热衷还从没有过连续多日的先例，但是在金子塔“趣味数学”却真实的“颠覆”了自己一直以来的习惯。

在学习金子塔“趣味数学”之前我试过用一些自认为女儿可能会感兴趣的方法来诱导女儿学习，但是每次结果都不是很理想。在接触金子塔“趣味数学”之初我真实的想法也仅是试试看而已，直到经过一段时间学习后，看着女儿对“趣味数学”近乎痴迷的情景，我才发现原来这个叫“趣味数学”的东西真的是很“有趣”。

趣味数学的学习现已告一段落，从女儿在幼儿园和学前班的实际状况可以看到，女儿完成作业的速度和质量较以前都要明显的高好多，同女儿交流时也能发现女儿思维的敏捷程度、知识面范围的宽阔程度也都有大幅的提高，某些方面所具有的能力甚至是一般同龄孩子所不具备的，很显然这一切受益于学习金子塔“趣味数学”。

金子塔“趣味数学”能寓教于乐，从孩子幼小年龄出发，有针对性的设置内容，既有利于幼小衔接又普及了日常知识，比较符合孩子现阶段的实际需求。

在教材内容方面，我个人认为有些题目文字描述部分显得冗长繁杂若用类似象形或会意的内容替换一下，教材会更加完美！毕竟在这个阶段孩子所掌握的文字还不是很丰富，如果学习过程中过分依赖家长和老师的协助势必会影响孩子独立学习的能力；另外在教材内容的量上如果能再丰富上一点点那将是锦上添花！比如可在自然和科学知识等方面再有所充实。

对“趣味数学”教材和“趣味数学”的老师，我感觉用“很棒！”两个字概括还是很合适的。

趣味数学读后感（三）

自三年级起，我开始订阅《趣味数学》，它是一本生动有趣的课外数学辅导资料。

借用一句古话：授人以鱼，不如授人以渔。就是说：“给人一条鱼，不如教他打渔的方法（或技术）。”就像我们的老师孜孜不倦的在课堂上教会我们学习时的方法或公式。《趣味数学》就像一本教你如何在知识的海洋里“打渔”的杂志——它不仅让我们学到了知识的要点，更我们掌握了学习中的方法。

《趣味数学》它的内容分为：科幻故事。名人数学家的成长经历。历史故事。开心笑话。脑筋急转弯，以及漫画；它以这些方式，向我们展示了数学世界的精彩。例如：科幻故事利用魔法的神奇让我们感到数学世界的魅力和神秘。科幻故事虽然只有一个叫《菜鸟魔法师之黑魔法复苏》，这是一篇每期连载的科幻故事里面的主要人物有：格鲁、贝奇、萨尔、吉米、托比和索拉，他们各有各自的本领以及独特的性格，但是他们都有一个共同点，就是爱探险。所谓的菜鸟魔法师就是格鲁，他喜欢钻研魔法。托比是个数学家。贝奇是个语言学家。萨尔是个植物学家。吉米是个考古学家。索拉是个探险家。他们是一个个爱动脑筋。善于思考的人。通过读他们的故事，让我的思维变的灵敏，使我更加喜欢思考和发现问题。

让我记忆深刻的是第一册《趣味数学》名人数学家的成长经历中讲的是我国着名数学家——陈景润。

陈景润爷爷，从小就酷爱读书，可惜家庭贫困无法供他读书。小时侯陈爷爷每天一见到自己哥哥放学回到家就缠着叫哥哥讲数学故事。这件事一直被陈景润的母亲看在眼里，她一咬牙把陈景润也送进了学校。入学后，陈景润的成绩优异，可是因家庭困难，陈景润上了高中以后，不得不退学，后来，他在家里坚持自学一学期。从小到大，陈景润都酷爱看书，他与小朋友一起捉迷藏时，手里都拿着本书，然后往隐蔽的地方一窝，等到大家都走光了，他也不知道。有一次，妈妈让他煮饭，因为专注地看书他居然连饭煮糊了也不知道。陈景润有着忘我的学习精神，能够在艰苦的环境下坚持学习，因此后来他成为我国着名的数学家。我们应该向他学习这种酷爱读书的学习精神。

另外，这本书中的开心笑话和漫画让我们在一个充满乐趣的环境下学习数学，还用脑筋急转弯的方式来锻炼我们的思维能力，让我成为一个爱思考、爱发现的孩子。

《趣味数学》让我们在趣味中学习，在快乐中进步。它使我的学习充满乐趣，也使我变得热爱思考。我喜欢读《趣味数学》。

感谢阅读，希望能帮助您！

九、生高效课堂心得体会

今年我校为老师推荐了一套好书《走向高校课堂》，我利用闲暇时间，认真的阅读了这本书，通过阅读这本书,我更深层次的了解了什么是高效课堂，也让我对有效教学以及如何打造高效课堂有了深深的思考和认识。
这本书以实例剖析，通过发现问题、提出问题、解决问题的形式，系统阐述了高效课堂实践的核心要素。本书主要从这几个方面论述了打造高效课堂的具体操作模式：从旧理念走向新理念;从“大班”走向“小班”;从“观模”走向“建模”;从教案走向学案;从牵生而教走向顺学而导;从学会走向会学;从以教评教走向以学评教;从被动发展走向主动发展。
这本书可谓使我受益匪浅。因为它让我知道了要打造高效课堂，学生的自主学习是前提，课堂中只有让学生自己去探究，从而经历发现问题、提出问题、解决问题的过程，让学生自己去认知、去感受、去体验，这样才能使学生对知识有全面的了解和认识，才能对所学知识记忆犹新并且能灵活运用。
1、高效的课堂是学生“自主”的课堂。
要实现高效的课堂，其前提和基础首先要实现学生的“自主”学习，离开了学生的“自主”学习，“高效课堂”就无从说起。 书中介绍了如下秘诀：让学生自己生成知识、让学生在体验中自主发展。“自主”学习的目标还体现在课堂教学力求做到：问题由学生自己去发现解决，规律由学生自己去探索应用，概念由学生自己去概括提炼，文本由学生自己去解读体悟，实验由学生自己去设计操作，作业由学生自己去布置选择。让学生被“被动”为“主动”，我想，这与我们提倡的“生本”理念是同出一辙的。只有调动了学生的积极性，才能实现我们教学的高效，才能达到教育的目的。
2、高效的课堂是学生“互助合作”的课堂。
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”合作探究可以提高单位时间内学生学习、交往、表达的频率与效率，可以优势互补。实施“互助学习”，落实合作学习方式，这是一个提高课堂教学效果的很好的渠道。合作学习是学生进行思想的交换，在合作中培养学生相互尊重、宽容、理解、欣赏、信任，善于交流。在合作中往往学得更好、更深、更快。就如何提高课堂效率来看，“合作学习”确实是一个非常有效地途径。
3、高效的课堂是学生“展示”的课堂。
学生展示自己在学习中探究的结果，并与同学一通分享学习的快乐。在展示中体验成功、增加自信，在展示中谋求进步、促进发展，在展示中学会展示、学会学习。每一次展示都是一次难忘的的经历，每一次展示都是一次成长的过程，每一次展示都是学生进步的阶梯。
总之，通过学习高效课堂之后，本人受益匪浅，颠覆了以前的教学思路。相信在今后的教学中借助于这些好的经验，我要踏踏实实地研究“高效课堂教学”，从学生实际出发，从素质教育的目标出发，合理运用控制论的原理，使我们的课堂教学建立在更加有效的基础上。定能更轻松地驾驭课堂，让课堂变得活跃，让学生轻轻松松学到知识。

十、数学教师

读了何棋老师的《优秀高中数学教师知道的十件事》，的确感受到何老师教育教学基本功扎实、经验丰富，教育理念超前，理论水平高。能够站在一线教师的角度，对一线教师如何成为一名优秀教师谈了非常明确的观点。阅读过后，自感很多方面尚有欠缺，尤其他谈到了高中数学教学方面的几件事，给我留下深刻印象，现与大家交流。
在该书中，何棋老师首先提到，一个高中数学教师要想成为一名优秀的教师，首先他必须具有健康的身体、积极的心态和完善的人格。教师的宽阔胸襟能够感染学生，净化学生的心灵，使之终身受益。其次，作为老师必须要有一份爱心，这是师德的核心。老师给予学生一份关爱，会影响至学生的一生。我们严格要求学生先学会成人然后再谈成才。目前社会上各种各样的诱惑充斥着我们的生活环境，因此教育中学生明是非，辨真伪，为学生的成长指引正确的方向和道路。二期课改明确了教师要尊重学生的个性差异，尊重每一位学生，建立和谐的师生关系。对高中学生，尤其是高一的新生，教师应帮助他们完善学习方法，掌握学习数学的技能，做到有效学习尤为重要。
我们会经常听到学生或家长提到的一个问题：初中时数学学得很好，每次考试不下90分，到了高中怎么学习数学这么吃力呢?甚至经常徘徊在及格线附近，这种现象应该说也是正常的，但是一个优秀的高中教师要了解学生数学能力的实际水平，并引导学生改变数学学习方法，以适应高中的大容量、快节奏的学习。针对此类问题，何棋老师提出：我们老是要做到方法上的引导，因此就必须：
(1)了解高中数学和初中数学有何不同。
从教材内容和要求到学习知识的能力需求分析。相对初中数学，高中数学的知识内容丰富，思维要求高，题目难度大，抽象概括性强，灵活性综合性强。教材中概念的符号多，定义严格，论证要求高，抽象思维增多，注重数学思想方法的积累和应用。不仅要求学生运算能力，还要有逻辑推理能力，能运用一定的数学思想方法解决问题。比如：高一数学教材第一章是集合与命题，紧接着就是不等式和函数，特别是函数的性质部分，这一连串的内容有一个又一个的难点，有些学生知道高中毕业也还是惧怕函数内容，还有不等式中，对二次项系数的分类讨论问题，很多学生容易忽略，缺乏分类讨论的意识。相比之下，初中数学以常量数学教学为主，内容比较平面化，直观，针对某些知识还经常反复训练，机械模仿等。由于新课标强调的是学习的螺旋式上升，教材对知识章节的编排不够连贯，结构比较松散，教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念配置了足够的例题和习题。同时初中对抽象思维要求较低，况且初中升学门槛降低，学生的数学基础和能力下降较多，诸如：运算能力差，不会化简代数式，不会解方程组，不会准确画二次函数图像等等，这些位高中教学无疑增加了难度。为此他提出，一个优秀的高中数学教师必须充分了解初中数学内容和要求的变化，努力寻求初高中知识的衔接点，调整以往的教学经验，根据学生的最近发展区组织课堂教学，提高课堂效率。例如：高中解绝对值不等式方法：绝对值的定义，分类讨论，还有绝对值的零点分成不等式组等，初步让学生体会分类讨论的方法，这是一个绝好的机会。
(2)找准初高中数学教学的切入点。
初高中知识的衔接点主要包括两个方面：第一，初中二期课改删除的内容，未与高中教材衔接但是高中阶段要用到的一些知识。第二，初中虽有涉及但是较简单，而高中需要熟练掌握的公式，定理、常用的思想方法等。必须多花时间进行整理和补充，对于已经掌握的同学而言是巩固，对未学过的同学来说是为以后的学习打基础。有条件的可以开设初高中内容衔接课。
(3)上好高中数学第一节课。
高中数学第一节课处理得好，能激发学生的学习兴趣和求知欲望，从而调动学生的学习主动性，展现了下一步学习的良好开端。第一节课，对教师而言是一次展示自我的机会。上好第一节课，有利于教师在学生心目中树立起较好的形象，对整个阶段的教学效果都将产生极大的影响。每一位学生都希望自己的新老师是值得崇拜的学者，但同时他们的心里又用自己的标准来衡量老师的一言一行，这就对老师们提出了更高的要求，一旦得到了学生的认可，方能 “亲其师，信其道”从而取得较好的教学效果。从内容上来看，第一节课可以是上教材上的某一节课，也可以是讲授高中数学的知识框架和结构，初步介绍一些学习方法。
(4)指导学生高中数学的学习方法。
可在经过短时间的高中数学学习后，通过调查问卷的方式了解学生是如何进行高中数学学习的，从中发现问题并给予及时的指导。包括：课堂学习作笔记的指导;学习新内容的指导;分析问题的指导;作业和课后的复习巩固的指导等。指导学生坚持整理课堂笔记，是知识系统划，梳理知识的内在联系，使指系统化，同时也培养学生的归纳概括能力。
为做好上述几个方面，一个优秀的教师显然还应该具备系统扎实的专业知识、基本方法等，了解本学科的发展趋势。不仅如此，教师只有不断提升自己，才能拓宽知识面，教学中也才能够运用自如，课堂才会生动有趣。另外，要成为一位优秀的数学教师，还应该具备以下几个方面的能力：第一，优秀高中数学教师对数学要有自己深刻的理解和思考，数学不只是枯燥无味的公式、定理等，而是我们认识世界、分析问题的思想方法。引导学生在生活中发现数学问题并解决问题，从中体验到学习数学的乐趣，增强学习的信心。第二：优秀的高中数学教师无一例外的具有较强的数学基本功、教学基本功。他们数学知识熟练广博，接替机枪多样，使学生心目中的“难不倒”的老师。他们不仅善于学习总结，更善于了解数学的发展近况，扑捉新信息 ，把握好重难点，找准问题的关键。选择恰当的方式设计数学问题情景实施教学，激发学生的学习兴趣。第三：优秀的高中数学教师会创造性地处理教材，是“用教材”而非“教教材”。他们会深刻领悟编写的意图，联系学生的实际，不断补充相应的内容，勇于创新，或者开展专题研究或小课题研究，更好地“用活教材”，从而创造性地开展教学工作。
除此之外，他还提到一个优秀高中数学教师还能够评估学生的数学认知结构。了解了初中的内容还不够，还要评估学生学习数学的能力，这一点并不全是与数学成绩成正比。评估学生的认知结构，可以为教学提供信息，确定怎样的教学方法。也可以为数学学习提供诊断，找出影响学习质量的原因。教师需充分调查了解学生已经掌握的知识和技能，了解掌握的熟练程度，了解学生对数学思想方法的理解程度，这样才能设计出适合学生情况的教学活动，充分调动学生原来的认知结构对新知识进行“同化”和“顺应”，提高课堂效率。
总之，要想成为一位优秀的高中数学教师，必须拥有丰富的数学基础知识，结合当前的可改精神，认真领悟二期课该的精神，创造性地使用教材，尽可能因材施教，充分了解每一位学生的成长环境和经历，发现学生的个性特长，充分发挥学生的主体性，让他们体验数学解题的思维过程，抓住数学的本质，学会学习数学。何棋老师为高中数学老师的发展指明了方向，让我明白了自己的不足，在竞争愈来愈激烈的今天，我们会更加努力!