高考数学常考必考题型，高考数学常考必考题型理科

　　1.数形结合的运用，如常见的几何问题、排列组合、概率计算等。

　　2.数学建模，这是近几年高考常考的题型，主要考查学生用所学知识解决实际问题的能力，包括几何建模和应用建立模型分析问题。

　　3.综合运用所学知识解决数学实践问题，这类题目大多是综合性问题，是对学生知识储备和运用能力的考查。

　　4.新课改背景下的创新与实践，如探究活动中各种要素之间的关系及探索多种解决策略、应用新课改理念研究实际问题等。

　　5.信息技术在数学教学中的应用等，主要考查学生信息素养和能力。

　　6.应用概率解决数学问题等；

　　7.几何证明题；

　　8.几何计算、几何证明和函数图像性质结合等。

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一、2020数学复习名题选萃排列、组合、二项式定理

2020高考数学复习名题选萃排列、组合、二项式定理
一、选择题
1．小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
[]
A．26B．24
C．20D．19
2．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有
[]
3．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
[]
A．24个B．30个
C．40个D．60个
4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
[]
A．150种B．147种
C．144种D．141种
5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有
[]
A．90种B．180种
C．270种D．540种
－(a1＋a3)2的值为
[]
A．1B．－1
C．0D．2
二、填空题
7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．
8．在(3－x)7的展开式中，x5的系数是________．(用数字作答)
9．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．
10．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋1(n∈N)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．
11．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选法有________种(结果用数值表示)．
12．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个(用数字作答)．
13．在(1＋x)6(1－x)4的展开式中，x3的系数是________(结果用数值表示)．
14．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种(结果用数值表示)．
16．从集合｛0，1，2，3，4，5，7，11｝中任取3个元素分别作直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得经过坐标原点的直线有________条(结果用数值表示)．
17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________(用数字作答)．
＝________．
19．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种(用数字作答)．
三、解答题
21．已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
(2)证明(1＋m)n＞(1＋n)m．
参考答案提示
一、选择题
1．D2．D3．A4．D5．D6．A
提示：6．本小题考查二项式定理的有关知识．解法1：由二项式
二、填空题
7．2528．－1899．2n(n－1)
10．1111．35012．3213．－8
14．144015．416．3017．17918．4
19．12．提示：解法1：若A、B之间间隔6垄，如果A在左，B在右，A的左边可以有2垄、1垄、0垄，相应B的右边有0垄、1
种．若A、B之间间隔7垄，若A在左，B在右，A的左边可以有1
(种)．解法2：用插空的方法．中间的6垄与两旁的A、B两垄先排好，A的两边有2个空，B的两边有2个空，这4个空选2个空种植其他2
三、解答题
21．(略)

二、2011到2016历年数学真题(全国卷整理版)

2011到2016历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径

2012年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1、复数=

A2+IB2-IC1+2iD1-2i

2、已知集合A＝{1.3.}，B＝{1，m},AB＝A,则m=

A0或B0或3C1或D1或3

3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为

A+=1B+=1

C+=1D+=1

4已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

A2BCD1

（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

(A)(B)(C)(D)

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，a=1，b=2，则

(A)（B）(C)(D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=，则cos2α=

(A)（B）(C)(D)

（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2=

(A)（B）(C)(D)

（9）已知x=lnπ，y=log52，，则

(A)x＜y＜z（B）z＜x＜y(C)z＜y＜x(D)y＜z＜x

(10)已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。

（14）当函数取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2xn＜xn+1＜3；

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

2011年高考数学(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数，为z的共轭复数，则

(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i

2.函数的反函数为

(A)(B)

(C)(D)

3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是

(A)(B)(C)(D)

4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=

(A)8(B)7(C)6(D)5

5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

(A)(B)3(C)6(D)9

6.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于

(A)(B)(C)(D)1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种

8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为

(A)(B)(C)(D)1

9.设是周期为2的奇函数，当时，，则

(A)(B)(C)(D)

10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则

(A)(B)(C)(D)

11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，脱该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为

(A)(B)(C)(D)

12.设向量满足，则的最大值对于

(A)2(B)(C)(D)1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为.

14.已知，，则.

15.已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则.

16.已知点E、F分别在正方体的棱上，且,,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列满足

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，记，证明：。

21.（本小题满分12分）

已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数，证明：当时，

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：

2010年普通高等学校招生全国统一考试

一．选择题

(1)复数

(A)(B)(C)12-13(D)12+13

(2)记,那么

A.B.-C.D.-

(3)若变量满足约束条件则的最大值为

(A)4(B)3(C)2(D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

(A)(B)7(C)6(D)

(5)的展开式中x的系数是

(A)-4(B)-2(C)2(D)4

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种

(7)正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为

ABCD

（8）设a=2,b=In2,c=,则

AabcBbcaCcabDcba

(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，则P到x轴的距离为

(A)(B)(C)(D)

（10）已知函数F(x)=lgx,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是

(A)(B)(C)(D)

（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为

(A)(B)(C)(D)

（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

(A)(B)(C)(D)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

(注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式的解集是.

(14)已知为第三象限的角，,则.

(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是.

(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)已知的内角，及其对边，满足，求内角．

(18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

已知数列中，.

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.

2009年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合（AB）中的元素共有

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

（2）已知=2+I,则复数z=

（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+I(D)3-i

(3)不等式＜1的解集为

（A）｛x(B)

（C）(D)

(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于

（A）（B）2（C）（D）

(5)甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种

（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为

（A）（B）（C）(D)

（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

（A）（B）（C）(D)

（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为

（A）（B）（C）(D)

(9)已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为

(A)1(B)2(C)-1(D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为

(A)(B)2(C)(D)4

（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则

(A)是偶函数(B)是奇函数

(C)(D)是奇函数

（12）已知椭圆C:的又焦点为F，右准线为L，点,线段AF交C与点B。若,则=

(A)(B)2(C)(D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效）

(13)的展开式中，的系数与的系数之和等于.

(14)设等差数列的前n项和为.若=72,则=.

(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若∠=，则此球的表面积等于.

(16)若,则函数的最大值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（注意：在试题卷上作答无效）

在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，且，求b.

18．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60.

(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

在数列中，.

设，求数列的通项公式；

求数列的前项和.

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线与圆相交于四个点。

（I）求的取值范围：

(II)当四边形的面积最大时，求对角线

的交点的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

设函数有两个极值点

（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；

(Ⅱ)证明：

2008年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1．函数的定义域为（）

A．B．

C．D．

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）

3．在中，，．若点满足，则（）

A．B．C．D．

4．设，且为正实数，则（）

A．2B．1C．0D．

5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）

A．138B．135C．95D．23

6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）

A．B．C．D．

7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）

A．2B．C．D．

8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）

A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位

9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

10．若直线通过点，则（）

A．B．C．D．

11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）

A．B．C．D．

12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

A．96B．84C．60D．48

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．13．若满足约束条件则的最大值为．

14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．

15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设的内角所对的边长分别为，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值．

18．（本小题满分12分）

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

19．（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

三、数学试题真题

机密★启用前

山东省普通高校招生（春季）考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.

卷一（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）

1.集合，，则等于（）

A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}

2.不等式的解集是（）

A.(,4)B.(,6)C.D.

3.函数的定义域是（）

A.B.C.D.

4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在等比数列中，，则的值是（）

A.B.5C.D.9

6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为（）

第6题图

A.B.C.D.

7.终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）

A.B.

C.D.

.8.关于函数，下列叙述错误的是（）

A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线

C.函数的单调递减区间是D.函数的图象经过点（2,0）

9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）

A.10B.20C.60D.100

10.如图所示，直线l的方程是（）

第10题图

A.B.

C.D.

11.对于命题p,q,若是假命题，是真命题，则（）

A.p,q都是真命题B.p,q都是假命题C.p,q一个是真命题一个是假命题

D.无法判断

.12.已知函数是奇函数，当时，，则的值是（）

A.B.C.1D.3

.13.已知点在函数的图象上，点A的坐标是（4,3），则的值是（）

A.B.C.D.

14.关于x，y的方程，给出下列命题：

①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；

③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；

⑤当时，方程表示椭圆.

其中，真命题的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）

A.0B.C.D.32

.

16.不等式组表示的区域（阴影部分）是（）

ABCD

17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）

A.B.C.D.

.18.已知向量则的值等于（）

A.B.C.1D.0

19.已知表示平面，m，n表示直线，下列命题中正确的是（）

A.若，，则B.若，，，则

C.若，，则D.若则

20.已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是（）

A.B.C.2D.3

卷二（非选择题，共60分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）

21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.

22.在△ABC中则BC=.

.23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽取的号码应是.

.24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于.

.25.集合都是非空集合，现规定如下运算：

.且.

若集合，，其中实数a，b，c，d，e，f，满足：①；②；③.则.

三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）

26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.

.

27.（本小题8分）已知函数，.函数的部分图象如图所示.求：

（1）函数的最小正周期T及的值；

（2）函数的单调递增区间.

15SD7第27题图

.28.(本小题8分)已知函数（且）在区间上的最大值是16.

(1)求实数a的值;

(2)若函数的定义域是R,求满足不等式的实数t的取值范围.

29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，.

(1)求SA与BC所成角的余弦值；

（2）求证：.

15SD8第29题图

30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且,求直线l的方程.

15SD10第30题图

答案

1.【考查内容】集合的交集

【答案】B

2.【考查内容】绝对值不等式的解法

【答案】B

【解析】.

3.【考查内容】函数的定义域

【答案】A

【解析】且得该函数的定义域是.

4.【考查内容】充分、必要条件

【答案】C

【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”.

5.【考查内容】等比数列的性质

【答案】D

【解析】，.

6.【考查内容】向量的线性运算

【答案】B

【解析】.

7.【考查内容】终边相同的角的集合

【答案】A

【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是

8.【考查内容】二次函数的图象和性质

【答案】C

【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.

9.【考查内容】组合数的应用

【答案】A

【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）

10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程

【答案】D

【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.

11.【考查内容】逻辑联结词

【答案】C

【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题

12.【考查内容】奇函数的性质

【答案】A

【解析】

13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模

【答案】D

【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.

14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念

【答案】B

【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.

15.【考查内容】二项式定理

【答案】D

【解析】所有项的二项式系数之和为

16【考查内容】不等式组表示的区域

【答案】C

【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.

17.【考查内容】古典概率

【答案】D

【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为

18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算

【答案】A

【解析】

19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系

【答案】C

【解析】A.若，，则或n在内；B.若，，，则或m与n异面；D.若且m、n相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.

20.【考查内容】双曲线的简单几何性质

【答案】A

【解析】的坐标为，设P点坐标为，，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.

21.【考查内容】直棱柱的侧面积

【答案】4ah

22.【考查内容】正弦定理

【答案】

【解析】由正弦定理可知，,

23.【考查内容】系统抽样

【答案】42

【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是

24.【考查内容】椭圆的简单几何性质

【答案】

【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，，则短轴长为

26.【考查内容】等差数列的实际应用

【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.

答：第一排应安排18名演员

【考查内容】正弦型函数的图象和性质

【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.

(2)因为函数的单调递增区间是.

所以，解得，

所以函数的单调递增区间是

【考查内容】指数函数的单调性

【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，

所以当时，函数取得最大值16，即，所以.

当时，函数在区间上是增函数，

所以当时，函数取得最大值16，即，所以.

（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.

【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质

【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，，

又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.

(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,

所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.

【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系

【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，

所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，

所以抛物线方程是.

（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.

设直线l的斜率为k，

则方程为，整理得，

设联立直线l与抛物线的方程得,

消去y，并整理得，

于是.

由①式变形得，代入②式并整理得，

于是，又因为，所以，即，

，解得或.

当时，直线l的方程是，不满足，舍去.

当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.

25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集

【答案】

【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，，..

四、数学题(1)

数学题(1)
1
1、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。问和老师一起看电影的有（）个小朋友。
2、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。
3、把2、3、4、5分别填入（）中，每个数只能用一次。
（）+（）-（）=（）
4、按规律写
15、10、13、12、11、（）、（）
1、4、3、6、5、（）、（）
1、2、4、8、（）、（）
5、小明小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重，小林比小红重，小明比小红重。他们三人中（）最重，（）最轻。
2
1、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操：兔的左边是狗；猴在熊的左边；猫的右边是狗；猴在兔的右边。（）排在队伍的最左边。
2、15、1、12、1、9、（）、（）、（）、（）
3、小明、小红、小林进行100米跑步比赛。小明用了13秒，小林用了12秒，小红用了11秒。那么，（）是第一，（）是第二。
４、举行跳绳比赛。秋秋跳得比丁丁少，小牛跳得比阿婷多，比秋秋少。
第一名：（）第二名：（）第三名：（）第四名：（）
５、在里填上“＋”或“－”，使算式成立。
６５４３２１＝１
６５４３２１＝１１
６５４３２１＝９
3
1、共有１２名小选手参加比赛，比秋秋得分高的有４人，比秋秋得分低的有（）人，秋秋排名第（）。
2、小朋友列队去参观纪念馆，从前面数阿婷是第５个，从后面数秋秋是第３个。她们中间还有６个人，这一列队伍共有多少人？
3、张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三位小朋友，根据下面三句话，请你猜一猜他们分别得到什么颜色的气球？
小红：“我分到的不是蓝气球。”小军：“我分到的不是白气球。”
小彩：“他们俩的气球一只是红色的，一只是蓝色的。”
小红（）、小军（）、小彩（）。
4、小牛和叶叶各有１０颗糖，小牛给叶叶２颗，他们相差（）颗。
5、10＝□+□＝□-□＝20-□
4
1、衣服正面有４个扣子，一个袖子上有２个扣子，这件衣服上有多少个扣子？
2、星期天，爸爸、妈妈带小牛去动物园，车票每张１元。动物园门票全票６元，半票３元，这次游玩，车票、门票一共花了多少钱？
3、丁丁和小彩的铅笔支数一样多，他们的铅笔合起来超过１０支但不到２０支，他们可能各自有几支铅笔？
4、在里填数。使每条线上的三个数的和是12
5
1、按规律在（）里填数。
（1）3，5，7，（），11
（2）2，4，6，8，（），（）。
（3）1，2，4，7，11，（），（）。
2、强强和小华打了2小时的乒乓球，每人打了（）小时。
3、红花、黄花一共有9朵，猜一猜，红花最多有（）朵。
4、华华家上面有3层，下面有2层，这幢楼共有（）层。
5、可以填几。
－=－=－=0
6
1小、红有15本书，小东有5本书，小红给小东（）本书，两个人的书就同样多？
2、按规律填数字
（1）3、5、7、9、（）
（2）6、9、12、15（）
（3）（）11、9、7、（）
（4）1、8、1、10、1、12、（）（）
3、11个小孩子站成一行，从前往后数，林林站在第3个，从后往前数，东东站在第3个，林林和东东中间还有（）个小朋友。
4、三个小朋友比大小，方方比扬扬大3岁，燕燕比方方小1岁，燕燕比扬扬大2岁。（）最大，（）最小
5、一只小猫5分钟吃完一条小鱼，5只小猫同时吃5条同样的小鱼要（）分钟。
7
1、小明比小亮大2岁，再过3年，明明比亮亮大()岁。
2、鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，她怕丢失了孩子，总是数着，从后向前数到自己是6，从前向后数到自己是7，你说鸭妈妈一共有（）个孩子。
9
8
7
7
5
3
20
15
10
9
6
3
－17=5
－18=5
3、下面表中，每一行的规律是什么？请根据规律接着写。
4、哪朵花表示的数大，在（）里打“√”。
（）（）
5、在3、9、12、13这四个数中选三个数写出四道算式。
□+□=□□＋□=□□－□=□□-□=□
8
一、填空
1、找规律填数。
(1)2、4、6、8、（）、（）、（）、（）、18、20。
(2)19、17、15、（）、（）、（）、（）。
(3)0、1、1、2、3、5、（）、（）。
2、河里有５只鸭子，６只鹅，游走了６只，游走至少有（）只鹅。
3、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10中选出9个数填在□里，每个数只能用1次。
□+□＝□□+□＝□□+□＝□
4、图形代表几。
○+○＝6，○＝()，△+△+△＝15，△＝()，
○+△＝()。
9
1、将2，3，4，5，6，7，8，9填入下列式中，使等式成立。
（）+（）+（）+（）=（）+（）+（）+（）
2、20个小朋友报数，单数一行，双数一行。单数第5个数是（）号，双数第10个数是（）号。3、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）
4、（）－4=（）－1
3、已知：－=6－=1＋=4
求：=（）=（）=（）
4、找规律画图。
5、小红参加唱歌比赛，她和参赛的小选手每个人握1次手，一共握了6次，参加唱歌比赛一共有（）人。
10
1、使横排、竖排的3个数相加都等于9。
2、一本书，小红第一天读1页，以后每天都比前一天多读1页，读到第4天，一共读了（）页。
3、小军今年是6岁，小明是4岁，当两人年龄之和是20岁时，应该是（）年之后的事。
4、小伟给小玲4颗糖后,就和小玲一样多,小伟原来比小玲多几颗?
5、时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下……照这样下去，
从1点到6点，一共敲了几下？
11
1、14人排队放学回家，小明前面有4人，小明后面有几个人？
2、小聪的哥哥今年15岁，小聪今年9岁，5年后，哥哥比小聪大几岁？
3、有一队小朋友报数，从左向右，明明报6；从右向左明明报7。这队小朋友共有多少人？
4、1个苹果重量=2个梨的重量，1个梨重量=2个香蕉重量
1个苹果重量=（）个香蕉重量
5、有一组小朋友在玩捉迷藏的游戏，其中有8人已被捉住，还有4人没有捉住，问这组一共有多少人在玩游戏？
12
1、找规律□▲○□□▲○○□□□▲○○○□□□□▲○○○○（）。
2、找规律填数字。
2、4、6、8、10、12、（）
3、4、6、9、13、18、（）
2、5、8、11、14、（）
3、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有（）个梨。
4、将1，2，3，4，5，6，7，8填入下列式中，使等式成立。
（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）
将2，3，4，5，6，7，8，9填入下列式中，使等式成立。
（）+（）+（）+（）=（）+（）+（）+（）
5、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是（）和（）
13
1、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？？
(1)△一7=2o+△=10(2)☆+☆=12☆一△=6
△=()o=()☆=()△=()
（3）△一4=11o+△=19(4)☆+☆=18☆一△=6
△=()o=()☆=()△=()
2、同学们做了8个红色风车，4个黄色风车，6个纸船，同学们一共做了()个风车。
3、玲玲的左边有12个人，右边有8个人，从左边移()个人到玲玲的右边，玲玲就站在正中间了。
4把1，2，3，4，5，6，7，8分别填入下列式中，使等式成立。
（）+（）—（）=（）
（）+（）—（）=（）
5、请在下列数字之间，填上“+”或“—”，使等式成立。
2222=02222=0
123456=1
6、请在下列数之间填上“+”或“—”，使等式成立。
（1）555555=0
（2）6666666=6
（3）123456=3
14
1、小明、小东和小华三人在赛跑。小明说：“我跑得不是最快的，但比小华快。”（）跑得最快，（）跑得最慢。
2、
（）个正方体（）个正方体
3、在□里填上合适的数。
4、把2、3、4、5、6、7、8、9、10填下入面的空格里（三行三列的格子），使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。
5、把2，3，4，5，6，7，8，9八个数填入下列式中，使等式成立。
（）+（）—（）=（）
（）+（）—（）=（）

五、2020数学模拟试题带答案

2020年高考模拟试题
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{zz＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为
A.5B.4C.3D.2
2、复数在复平面上对应的点位于
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为
A.B.C.D.
4、函数的部分图象
如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的
图象解析式为
A.B.C.D.
5、已知，，，则
A.B.C.D.
6、函数的最小正周期是
A.πB.C.D.2π
7、函数y=的图象大致是
A．B．C．D．
8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则
A.35B.33C.31D.29
9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有
A.24种B.18种C.48种D.36种
10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足，，若（），则
A.B.C.D.
11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若MF2＝F1F2，则C的离心率是
A.B.C.D.
12、函数f（x）＝2xlog0.5x－1的零点个数为
A.1B.2C.3D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上
13、设θ为第二象限角，若，则sinθ＋cosθ＝__________
14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________
15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=
16、若，则函数的最大值为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17、已知数列的前项和为，且，对任意N，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
18、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB。
（1）求PA的长；
（2）求二面角B－AF－D的正弦值。
19、销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X（单位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T的数学期望。
20、设点O为坐标原点，椭圆E：（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）PQ是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．
21、设函数．
（）若，求函数的单调区间．
（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。
（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。
23、已知关于x的不等式（其中）。
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围。
2020年高考模拟试题
理科数学参考答案
选择题：
1、C，由已知，得{zz＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{zz＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
2、A，本题考查复数的运算及几何意义
，所以点（位于第一象限
3、B方法一：不在家看书的概率=
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—
4、D，由图像知A=1,,,由得，则图像向右平移个单位后得到的图像解析式为，故选D。
5、D6、A,根据三角恒等变换化简可得
7、D，解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因此函数y为偶函数，
8、C,设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。
由与2的等差中项为知，，。
∴，即。，，.
9、A，分类讨论，有2种情形：
孪生姐妹乘坐甲车：则有孪生姐妹不乘坐甲车：则有所以共有24种，
10、B，以为坐标原点，如图建立直角坐标系．
设，则∵，，∴．
∵（），∴，
∴即两式相加，得解得．
11、B，如图：OB＝b，OF1＝c，∴kPQ＝，kMN＝﹣。
直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x，由，得：Q(，)；由，得：P(，)，∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，
令y＝0得：xM＝，又∵MF2＝F1F2＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝。
12、函数f（x）＝2xlog0.5x－1的零点也就是方程2xlog0.5x－1＝0的根，即2xlog0.5x＝1，整理得log0.5x＝.令g（x）＝log0.5x，h（x）＝，作g（x），h（x）的图象如图所示，因为两个函数图象有两个交点，所以f（x）有两个零点。
填空题
13、由，得tanθ＝，即sinθ＝cosθ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝，sinθ＝，sinθ＋cosθ＝
14、(a+x）4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于×a=8，解得a=2
15、曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与
联立得，显然，所以由
16:
设,
解答题
17、1）解法1：当时，，，
两式相减得，
即，得.
当时，，即.
∴数列是以为首项，公差为的等差数列。
∴.
解法2：由，得，
整理得，，两边同除以得，.
∴数列是以为首项，公差为的等差数列。∴.∴.
当时，.又适合上式，
∴数列的通项公式为.
（2）解法1：∵，∴.
∴，①
，②
1②得.
∴.
解法2：∵，∴.
∴.
由，两边对取导数得，.令，得.∴.
18、（1）
如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD。以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A（0，－3,0），B（，0,0），C（0,1,0），D（，0,0）。因PA⊥底面ABCD，可设P（0，－3，z），由F为PC边中点，F.又＝，＝（，3，－z），因AF⊥PB，故·＝0，
即6－＝0，（舍去），所以＝.
(2）由（1）知＝（，3,0），＝（，3,0），＝（0,2，），设平面FAD的法向量为n1＝（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为n2＝（x2，y2，z2），由n1·＝0，n1·＝0，得因此可取n1＝（3，，－2）。由n2·＝0，n2·＝0，
得故可取n2＝（3，，2）。从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值为
19、（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.
所以
（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400
20、（1）∵A（a，0），B（0，b），，所以M（，）．∴，解得a＝2b，
于是，∴椭圆E的离心率e为．
（2）由（1）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x2＋4y2＝4b2（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：
（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
由得，解得．从而x1x2＝8－2b2．于是
．
解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．
21、）时，，∴．
∵当，，为单调减函数．当，，为单调增函数．
∴的单调减区间为，的单调增区间为．
（）∵，在区间上是减函数，∴对任意恒成立，
即对任意恒成立．令，．易知在上单调递减，
∴．∴．
22、(1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为。
23（1）当时，，时，，得
时，，得时，，此时不存在
∴不等式的解集为（2）略

六、数学复习资料

复习是高考数学教学的关键部分，它不仅是对数学知识系统全面的整合与巩固，下面是查字典数学网编辑的高考数学复习资料，供参考，祝大家高考大捷~
高考数学复习资料精选推荐：
(一)
任一x∈Ax∈B，记作AB
AB，BAA=B
AB={xx∈A，且x∈B}
AB={xx∈A，或x∈B}
card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)
(1)命题
原命题若p则q
逆命题若q则p
否命题若p则q
逆否命题若q，则p
(2)四种命题的关系
(3)AB，A是B成立的充分条件
BA，A是B成立的必要条件
AB，A是B成立的充要条件
1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性
2.集合表示方法①列举法②描述法
③韦恩图④数轴法
3.集合的运算
⑴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
⑵Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
4.集合的性质
⑴n元集合的子集数：2n
真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2
(二)
圆的切线方程
(1)已知圆.
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线.
线线平行常用方法总结：
(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。
(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。
(3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法
(4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
(5)线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。
(6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。
线面平行的判定方法:
⑴定义：直线和平面没有公共点.
(2)判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
(3)面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
(4)线面垂直的性质：平面外与已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面
高考数学复习资料(三)
判定两平面平行的方法
(1)依定义采用反证法
(2)利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。
(5)平行于同一个平面的两个平面平行。
证明线与线垂直的方法
(1)利用定义(2)线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。
证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义
(2)线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
(3)线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。
(4)面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
(5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则这条直线必垂直于另一个平面
判定两个平面垂直的方法：
(1)利用定义
(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
夹在两个平行平面之间的平行线段相等
要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
高考数学复习资料就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!!!

七、名师解析2009年考纲

2、从试卷结构的角度整理思路。数学高考题型有三种：选择题，填空题，解答题（其最大特点是综合性）。要对选择题、填空题进行专门训练，对解答题中的每一个大题也应该进行集中训练，以达到一定的熟练度与高度。
3、在抓好“三基”的同时重视“综合”与“联系”。“三基”（基础知识、基本技能、基本思想方法）仍是高考的基调之一。随着高考命题的改革，基础题表现了一定程度上的灵活性。要注意知识的内在联系与综合，因为高考常常在知识的交汇点上设计试题。
4、树立新的“能力观”。包括运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力和分析解决问题的能力以及收集处理信息的能力、语言文字表达能力等。
解析老师：宜宾县一中高三政治备课组马代莉
考纲特点：2009年思想政治考纲总体保持稳定，考核目标和要求均未改变，知识考试范围基本稳定，只有个别知识点作了调整，将“贯彻‘三个代表’重要思想”改成了“中国特色社会主义理论体系”。国内外重大时事时间限定为2008年4月至2009年3月。
1、注重基础知识，能够通过学过的知识灵活地分析和解决问题。2、要关注社会热点，将热点和学科知识相结合。3、重视基本能力培养，加强针对性训练。重视设问的能力、提取信息的能力、整合知识的能力、形成答案提纲的能力和规范表达的能力。4、整理错题集，避免犯相同的错误。
解析老师：宜宾市三中化学一级教师吴祖金
考纲特点：2009年四川高考化学《考纲》总体上和往年没有什么区别，但试题的难度会有所增加。大家要打消畏惧心理，不管高考试题怎么变，毕竟变的只是少数，而且变化也必然在考生学过的知识范围内。
可以采用“广读、深思、熟记、精练”的复习方法。“广读”———读教材、读复习资料、读试题、读考试大纲。在读的过程中，既可以加强记忆，又可以查漏补缺，还可以训练思维。“深思”———对于重要的理论知识以及解题方法，一定要深入思考，做到真正理解，这样才可能形成运用知识解决问题的能力。“熟记”———对于常见物质的名称、化学式、组成、结构、性质等，如果没有熟练记忆，很可能连题都读不懂，自然解题速度和准确率都会大打折扣。“精练”———要学会利用有限的时间练最有价值的题，要练好三类题：专题针对训练题、化学单科综合题、理科综合化学题。每类题都要精选，价值不大或者已经掌握的题要少练甚至不练，常考常错的题型要多练。
解析老师：南溪一中历史教研组组长、特级教师聂学海
考纲特点：2009年历史高考考试大纲与2008年相比，无任何变化。这反映了考试中心要实现保持稳定不变的考试内容、考试容量和难度，以及导向。
：要研究前三年的高考题，找规律，寻导向，最好把它们拿来做一遍。因为高考不回避重点，很多重点知识可能再考，只是命题的角度不同而已。
要回归教材，把握教材的主干知识：抓住基本概念，清理基本线索，记住基本结论。

八、数学个知识点归纳汇总

高考数学74个知识点归纳汇总
高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下问题您是否清醒的认识?老师提醒你：
〓〓1.研究集中问题，一定要抓住集合的代表元素。
〓〓2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助数轴和文氏图进行求解。文档来自于网络搜索
〓〓3.你会用补集的思想解决有关问题吗?
〓〓4.映射的概念了解了吗?映射f:A→B中，你是否注意到了A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够构成映射?文档来自于网络搜索
〓〓5.求不等式(方程)的解集，或求定义域时，你按要求写成集合形式了吗?
〓〓6.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗?
〓〓7.几种命题的真值表记住了吗?充要条件的概念记住了吗?如何判断?
〓〓8.不等式的解法掌握了吗?
〓〓9.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数进行讨论了吗?文档来自于网络搜索
〓〓10.特别提醒：二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c0(0)解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c文档来自于网络搜索
的图象与x轴的交点的横坐标。
〓〓11.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗?(关于原点对称这个必要非充分条件)。
〓〓12.函数单调性的证明方法是什么?(定义法、导数法)
〓〓13.特别注意函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小；②解不等式；③求参数的范围)。
〓〓14.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗?
〓〓15.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗?
〓〓16.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制了吗?指数、对数函数的图象与性质明确了吗?
〓〓17.你还记得对数恒等式(alog?琢N=N)和换底公式吗?
〓〓18.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出它们的单调区间及其取最值的X值的集合吗?(别忘了k?缀Z)。文档来自于网络搜索
〓〓19.三角函数中的和、差、倍、降次公式及其逆用、变形用都掌握了吗?
〓〓20.会用五点法y=Asin(?棕x+?渍)的草图吗?哪五点?会根据图象求参数A、?棕、?渍的值吗?文档来自于网络搜索
〓〓21.试卷中给出的积化和差和和差化积公式你会用吗?
〓〓22.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边角互化?
〓〓23.你对三角变换中的几大变换清楚吗?(①角的变换：和差、倍角公式；②名的变换：切割化弦；③次的变换：升、降次公式；④形的变换：统一函数形式)文档来自于网络搜索
〓〓24.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角的函数值，再判定角的范围)
〓〓25.形如y=Asin(?棕x+?渍),y=Atan(?棕x+?渍)的最小正周期会求吗?有关周期函数的结论还记得多少?文档来自于网络搜索
〓〓26.以下几个结论你记住了吗?①如果函数f(x)的图象同时关于直线x=a和x=b对你，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=2?襔a-b?襔；②如果函数f(x)满足f(x-a)=f(x-b)，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=2?襔a+b?襔;③如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=4?襔a-b?襔。文档来自于网络搜索
〓〓27.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明k?缀Z了吗?
〓〓28.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形公式吗?(l=,S=)
〓〓29.在用反三角表示直线的倾斜角、两条直线所成的角、二面角的平面角、直线与平面所成的角时，是否注意到了它们的范围?文档来自于网络搜索
〓〓30.常用的图象变换有几种(平移、伸缩和对称)?具体变换步骤还记得吗?
〓〓31.重要不等式是指哪几个不等式?由它们推出的不等式链是什么?
〓〓32.不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法；分析法；综合法；数学归纳法)
〓〓33.利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到：①都是正的；②等号成立；③其中之一为定值。
〓〓34.不等式解集的规范格式是什么?(一般要写成区间或集合的形式)
〓〓35.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是..”
〓〓36.诸如(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切x∈R恒成立，求a的范围，你讨论二次项系数为零了吗?文档来自于网络搜索
〓〓37.解对数不等式应注意什么问题?(化成同底，利用单调性，底数和真数要大于零)。
〓〓38.“穿根法”解不等式的注意事项是什么?
〓〓39.会用不等式a-b≤a+_b≤a+b证一些简单问题。
〓〓40.不等式恒成立的问题有哪几种处理方式?
41.等差、等比数列的重要性质：(等差：m+n=P+q→________；等比：m·n=p·q→______)。文档来自于网络搜索
〓〓42.用等比数列求前N项和时应注意什么?(q=1时，Sn=______，q≠1时，Sn=____=______〓)。文档来自于网络搜索
〓〓43.数列求和中的错位相减法，拆项叠加相消法掌握了吗?还有哪些求和方法?适应题型分别是什么?
〓〓44.由an=Sn-Sn-1，求数列通项时注意到n?莛2了吗?
〓/n→∞qn=0?圳(?襔q?襔1)掌握了吗?若lim/n→∞qn存在，q满足什么条件?(?襔q?襔1或q=1)；若q是公比，还要注意什么?(q≠0)文档来自于网络搜索
46.求无穷数列和(积)的极限时，你是“先求数列和(积)，后取极限”的吗?
〓〓47.在数学归纳法的证明中，把归纳假设当已知条件用了吗?
〓〓48.复数相等的充分条件a+bi=c+di?圳a=c,b=d(a,b,c,d?缀R)。
〓〓49.立体几何中平行、垂直关系证明的思想明确了吗?每种平行、垂直转换的条件是什么?线∥线?圳线∥面?圳面∥面，线⊥线?圳线⊥面?圳面⊥面。文档来自于网络搜索
〓〓50.作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、三垂线定理、垂面法)
〓〓51.求线面角的关键是什么?(找直线的射影)范围是什么?异面直线所成的角如何求?范围是什么?
〓〓52.在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题?
〓〓53.平移公式记准了吗?平移前函数的解析式、平移向量、平移后函数的解析式，二者知二求别外一个。
〓〓54.函数按向量平移与平常“左加右减”的何联系?
〓〓55.向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!
〓〓56.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗?
〓〓57.何为直线的方向向量?直线的方向向量与直线的斜率有何关系?
〓〓58.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到〓不存在的情况?
〓〓59.直线和圆的位置关系利用什么方法判定?(圆心到直线的距离与圆的关径的比较)直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断?文档来自于网络搜索
〓〓60.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?
〓〓61.用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到方程中你注意到△≥0这一条件了吗?圆锥曲线本身的范围你注意到了吗?文档来自于网络搜索
〓〓62.解析几何问题求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建直角坐标系?
〓〓63.截距是距离吗?“截距相等”意味着什么?
〓〓64.解析几何中的对称问题有哪几种?(中心对称、轴对称)分别如何求解?
〓〓65.弦长公式记住了吗?
〓〓66.圆锥曲线的焦半径公式分别是什么?如何应用?
〓〓67.换元的思想，逆求的思想，从特别到一般的思想，方程的思想，整体的思想都做好准备了吗?
〓〓68.解应用题应注意的最基本要求是什么?(审题，找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式，代入初始条件，注意单位，写好答语)文档来自于网络搜索
〓〓69.二项展开式的通项公式是什么?它的主要用途有哪些?二项式系数的相关结论有哪些?〓〓70.隔板法还记得吗?哪些问题可用此法?〓〓71.导数的定义还记得吗?它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具体步骤还记得吗?文档来自于网络搜索
〓〓72.“函数在极值点处的导数值为零”是否会灵活应用。
〓〓73.常见的概率计算公式还记得吗?
〓〓74.二项分布的期望与方差分别是什么?在频率分布直方图中如何求相应区间内的概率?

九、正余弦定理实际应用

三角恒等变换与解三角形
学习目标：
1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
真题感悟
1.若tanα＝2tan，则＝()
A.1B.2C.3D.4
2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
3.在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
4.在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.
考点整合
1.三角函数公式
(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；tan(α±β)＝.
(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；
推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝；
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.
(3)S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
热点一三角变换的应用
[微题型1]求值
【例1－1】(1)sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝()
A.－B.－C.D.
(2)已知＝－，则cosα＋sinα＝()
A.－B.C.D.－
(3)已知＝－1，则cos2－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________.
[微题型2]求角
【例1－2】已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.
【训练1】设α∈，β∈，且tanα＝，则()
A.3α－β＝B.2α－β＝C.3α＋β＝D.2α＋β＝
热点二正、余弦定理的应用
[微题型1]判断三角形的形状
【例2－1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
[微题型2]解三角形
【例2－2】已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.
(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
[微题型3]求解三角形中的实际问题
【例2－3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【训练2】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围.
课堂总结：
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；
(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.
2.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sinC，sin＝cos等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.
课后反思：本题为解答第一题，是所有同学需要努力得满分的，一定对基本公式记忆牢固，熟练应用。多多练习。
参考答案：
1.解析＝＝＝＝＝＝3.答案C
2.解析因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案1
3.解析由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，
∴sinC＝，∴＝＝1.答案1
4.解析如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，
∴设AD＝x，则AE＝x，DE＝x，CD＝m，∵BC＝2，∴·sin15°＝1?x＋m＝＋，∴0x4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝＋－x，
∴AB的取值范围是(－，＋).]答案(－，＋)
【例1－1】解析(1)sin(π－α)＝sinα＝－，又α∈，∴cosα＝－＝－＝－.
由cosα＝2cos2－1，∈，得cos＝－＝－.所以sin＝cos＝－.
(2)＝＝＝(cosα＋sinα)＝－.所以cosα＋sinα＝－.
(3)由＝－1得tanα＝，所以cos2－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2
＝sin2α＋sinαcosα＋2(sin2α＋cos2α)＝＝＝＝.
答案(1)B(2)D(3)
探究提高在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即：
(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；
(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；
(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用.
【例1－2】解析因为cos(2α－β)＝－，且＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝.
因为sin(α－2β)＝，且－＜α－2β＜.所以cos(α－2β)＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－×＋×＝.
又＜α＋β＜，所以α＋β＝.答案
探究提高解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.
【训练1】解析由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，
∴sin(α－β)＝cosα＝sin.∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，
∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.答案B
【例2－1】解析因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)
＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
法一由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，因为sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
法二由正弦定理、余弦定理得a2b＝b2a，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
探究提高判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为角的关系A＝B或A＋B＝来判断，也可化为边的关系a＝b或a2＋b2＝c2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.
【例2－2】解(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.易知sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，
所以sin＝.又0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一由(1)得B＋C＝?C＝－B，由正弦定理得＝＝＝＝，
所以b＝sinB，c＝sinC.所以S△ABC＝bcsinA＝×sinB×sinC·sin＝sinB·sinC＝·sinB·sin＝＝sin2B－cos2B＋＝sin＋.
易知－＜2B－＜，故当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝.
法二由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝4?bc＋4＝b2＋c2≥2bc?bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立.所以S△ABC＝bcsinA＝×bc≤×4＝，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为.
探究提高解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
【例2－3】解析在△ABC中，AB＝600m，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300m.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100m.。答案100
探究提高求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答.
【训练2】(1)证明由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，在△ABC中，sinA≠0，
所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.
(2)解由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin
＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，
因此＜－2＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.

十、高等数学基本知识

一、函数与极限
1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：aA。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合
⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA）。。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：
①、任何一个集合是它本身的子集。即AA
②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即A∪B＝｛xx∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
即A∩B＝｛xx∈A，且x∈B｝。
⑶、补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。
即CUA＝｛xx∈U，且xA｝。
集合中元素的个数
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。
⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有
card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
我的问题：
1、学校里开运动会，设A＝｛xx是参加一百米跑的同学｝，B＝｛xx是参加二百米跑的同学｝，C＝｛xx是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x1≤x≤3}，B＝{x(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？
5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？
2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a，b]开区间a＜x＜b（a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；
(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母、表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
4、反函数⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：
5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。