高考数学知识点大全 总结，高考数学知识点大全 总结归纳

　　一、圆的性质

　　1、圆的性质是它的几何意义，是从量中求量，因此可以用集合来表示；

　　2、圆的坐标系与其定义有关，所以对圆的坐标系及其性质的理解，要掌握好“切线”“圆心角”“同旁内角”和“圆锥曲线”。

　　3、求圆的切线就是求圆上一点到圆心点与圆心角坐标关系式：R=2π/90 （R=a/弧长）4、圆锥曲线性质三种：

　　一、平行四边形的面积和所对边相等，且所对边与底面平行；

　　二、平行四边形是面积平移后仍为平行四边形；

　　三、如果两个平移图形互相相交时，则两个图形的面积之和相等。

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一、数学个知识点归纳汇总

高考数学74个知识点归纳汇总
高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下问题您是否清醒的认识?老师提醒你：
〓〓1.研究集中问题，一定要抓住集合的代表元素。
〓〓2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助数轴和文氏图进行求解。文档来自于网络搜索
〓〓3.你会用补集的思想解决有关问题吗?
〓〓4.映射的概念了解了吗?映射f:A→B中，你是否注意到了A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够构成映射?文档来自于网络搜索
〓〓5.求不等式(方程)的解集，或求定义域时，你按要求写成集合形式了吗?
〓〓6.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗?
〓〓7.几种命题的真值表记住了吗?充要条件的概念记住了吗?如何判断?
〓〓8.不等式的解法掌握了吗?
〓〓9.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数进行讨论了吗?文档来自于网络搜索
〓〓10.特别提醒：二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c0(0)解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c文档来自于网络搜索
的图象与x轴的交点的横坐标。
〓〓11.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗?(关于原点对称这个必要非充分条件)。
〓〓12.函数单调性的证明方法是什么?(定义法、导数法)
〓〓13.特别注意函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小；②解不等式；③求参数的范围)。
〓〓14.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗?
〓〓15.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗?
〓〓16.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制了吗?指数、对数函数的图象与性质明确了吗?
〓〓17.你还记得对数恒等式(alog?琢N=N)和换底公式吗?
〓〓18.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出它们的单调区间及其取最值的X值的集合吗?(别忘了k?缀Z)。文档来自于网络搜索
〓〓19.三角函数中的和、差、倍、降次公式及其逆用、变形用都掌握了吗?
〓〓20.会用五点法y=Asin(?棕x+?渍)的草图吗?哪五点?会根据图象求参数A、?棕、?渍的值吗?文档来自于网络搜索
〓〓21.试卷中给出的积化和差和和差化积公式你会用吗?
〓〓22.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边角互化?
〓〓23.你对三角变换中的几大变换清楚吗?(①角的变换：和差、倍角公式；②名的变换：切割化弦；③次的变换：升、降次公式；④形的变换：统一函数形式)文档来自于网络搜索
〓〓24.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角的函数值，再判定角的范围)
〓〓25.形如y=Asin(?棕x+?渍),y=Atan(?棕x+?渍)的最小正周期会求吗?有关周期函数的结论还记得多少?文档来自于网络搜索
〓〓26.以下几个结论你记住了吗?①如果函数f(x)的图象同时关于直线x=a和x=b对你，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=2?襔a-b?襔；②如果函数f(x)满足f(x-a)=f(x-b)，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=2?襔a+b?襔;③如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=4?襔a-b?襔。文档来自于网络搜索
〓〓27.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明k?缀Z了吗?
〓〓28.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形公式吗?(l=,S=)
〓〓29.在用反三角表示直线的倾斜角、两条直线所成的角、二面角的平面角、直线与平面所成的角时，是否注意到了它们的范围?文档来自于网络搜索
〓〓30.常用的图象变换有几种(平移、伸缩和对称)?具体变换步骤还记得吗?
〓〓31.重要不等式是指哪几个不等式?由它们推出的不等式链是什么?
〓〓32.不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法；分析法；综合法；数学归纳法)
〓〓33.利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到：①都是正的；②等号成立；③其中之一为定值。
〓〓34.不等式解集的规范格式是什么?(一般要写成区间或集合的形式)
〓〓35.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是..”
〓〓36.诸如(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切x∈R恒成立，求a的范围，你讨论二次项系数为零了吗?文档来自于网络搜索
〓〓37.解对数不等式应注意什么问题?(化成同底，利用单调性，底数和真数要大于零)。
〓〓38.“穿根法”解不等式的注意事项是什么?
〓〓39.会用不等式a-b≤a+_b≤a+b证一些简单问题。
〓〓40.不等式恒成立的问题有哪几种处理方式?
41.等差、等比数列的重要性质：(等差：m+n=P+q→________；等比：m·n=p·q→______)。文档来自于网络搜索
〓〓42.用等比数列求前N项和时应注意什么?(q=1时，Sn=______，q≠1时，Sn=____=______〓)。文档来自于网络搜索
〓〓43.数列求和中的错位相减法，拆项叠加相消法掌握了吗?还有哪些求和方法?适应题型分别是什么?
〓〓44.由an=Sn-Sn-1，求数列通项时注意到n?莛2了吗?
〓/n→∞qn=0?圳(?襔q?襔1)掌握了吗?若lim/n→∞qn存在，q满足什么条件?(?襔q?襔1或q=1)；若q是公比，还要注意什么?(q≠0)文档来自于网络搜索
46.求无穷数列和(积)的极限时，你是“先求数列和(积)，后取极限”的吗?
〓〓47.在数学归纳法的证明中，把归纳假设当已知条件用了吗?
〓〓48.复数相等的充分条件a+bi=c+di?圳a=c,b=d(a,b,c,d?缀R)。
〓〓49.立体几何中平行、垂直关系证明的思想明确了吗?每种平行、垂直转换的条件是什么?线∥线?圳线∥面?圳面∥面，线⊥线?圳线⊥面?圳面⊥面。文档来自于网络搜索
〓〓50.作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、三垂线定理、垂面法)
〓〓51.求线面角的关键是什么?(找直线的射影)范围是什么?异面直线所成的角如何求?范围是什么?
〓〓52.在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题?
〓〓53.平移公式记准了吗?平移前函数的解析式、平移向量、平移后函数的解析式，二者知二求别外一个。
〓〓54.函数按向量平移与平常“左加右减”的何联系?
〓〓55.向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!
〓〓56.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗?
〓〓57.何为直线的方向向量?直线的方向向量与直线的斜率有何关系?
〓〓58.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到〓不存在的情况?
〓〓59.直线和圆的位置关系利用什么方法判定?(圆心到直线的距离与圆的关径的比较)直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断?文档来自于网络搜索
〓〓60.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?
〓〓61.用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到方程中你注意到△≥0这一条件了吗?圆锥曲线本身的范围你注意到了吗?文档来自于网络搜索
〓〓62.解析几何问题求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建直角坐标系?
〓〓63.截距是距离吗?“截距相等”意味着什么?
〓〓64.解析几何中的对称问题有哪几种?(中心对称、轴对称)分别如何求解?
〓〓65.弦长公式记住了吗?
〓〓66.圆锥曲线的焦半径公式分别是什么?如何应用?
〓〓67.换元的思想，逆求的思想，从特别到一般的思想，方程的思想，整体的思想都做好准备了吗?
〓〓68.解应用题应注意的最基本要求是什么?(审题，找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式，代入初始条件，注意单位，写好答语)文档来自于网络搜索
〓〓69.二项展开式的通项公式是什么?它的主要用途有哪些?二项式系数的相关结论有哪些?〓〓70.隔板法还记得吗?哪些问题可用此法?〓〓71.导数的定义还记得吗?它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具体步骤还记得吗?文档来自于网络搜索
〓〓72.“函数在极值点处的导数值为零”是否会灵活应用。
〓〓73.常见的概率计算公式还记得吗?
〓〓74.二项分布的期望与方差分别是什么?在频率分布直方图中如何求相应区间内的概率?

二、高等数学基本知识

一、函数与极限
1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：aA。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合
⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA）。。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：
①、任何一个集合是它本身的子集。即AA
②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即A∪B＝｛xx∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
即A∩B＝｛xx∈A，且x∈B｝。
⑶、补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。
即CUA＝｛xx∈U，且xA｝。
集合中元素的个数
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。
⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有
card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
我的问题：
1、学校里开运动会，设A＝｛xx是参加一百米跑的同学｝，B＝｛xx是参加二百米跑的同学｝，C＝｛xx是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x1≤x≤3}，B＝{x(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？
5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？
2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a，b]开区间a＜x＜b（a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；
(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母、表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
4、反函数⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：
5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。

三、数学复习资料

复习是高考数学教学的关键部分，它不仅是对数学知识系统全面的整合与巩固，下面是查字典数学网编辑的高考数学复习资料，供参考，祝大家高考大捷~
高考数学复习资料精选推荐：
(一)
任一x∈Ax∈B，记作AB
AB，BAA=B
AB={xx∈A，且x∈B}
AB={xx∈A，或x∈B}
card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)
(1)命题
原命题若p则q
逆命题若q则p
否命题若p则q
逆否命题若q，则p
(2)四种命题的关系
(3)AB，A是B成立的充分条件
BA，A是B成立的必要条件
AB，A是B成立的充要条件
1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性
2.集合表示方法①列举法②描述法
③韦恩图④数轴法
3.集合的运算
⑴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
⑵Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
4.集合的性质
⑴n元集合的子集数：2n
真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2
(二)
圆的切线方程
(1)已知圆.
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线.
线线平行常用方法总结：
(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。
(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。
(3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法
(4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
(5)线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。
(6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。
线面平行的判定方法:
⑴定义：直线和平面没有公共点.
(2)判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
(3)面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
(4)线面垂直的性质：平面外与已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面
高考数学复习资料(三)
判定两平面平行的方法
(1)依定义采用反证法
(2)利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。
(5)平行于同一个平面的两个平面平行。
证明线与线垂直的方法
(1)利用定义(2)线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。
证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义
(2)线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
(3)线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。
(4)面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
(5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则这条直线必垂直于另一个平面
判定两个平面垂直的方法：
(1)利用定义
(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
夹在两个平行平面之间的平行线段相等
要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
高考数学复习资料就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!!!

四、正余弦定理实际应用

三角恒等变换与解三角形

学习目标：

1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.

重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.

真题感悟

1.若tanα＝2tan，则＝()

A.1B.2C.3D.4

2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.

3.在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.

4.在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.

考点整合

1.三角函数公式

(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；tan(α±β)＝.

(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

2.正、余弦定理、三角形面积公式

(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).

变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；

推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝；

变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.

(3)S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

热点一三角变换的应用

[微题型1]求值

【例1－1】(1)sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝()

A.－B.－C.D.

(2)已知＝－，则cosα＋sinα＝()

A.－B.C.D.－

(3)已知＝－1，则cos2－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________.

[微题型2]求角

【例1－2】已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.

【训练1】设α∈，β∈，且tanα＝，则()

A.3α－β＝B.2α－β＝C.3α＋β＝D.2α＋β＝

热点二正、余弦定理的应用

[微题型1]判断三角形的形状

【例2－1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

[微题型2]解三角形

【例2－2】已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.

(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.

[微题型3]求解三角形中的实际问题

【例2－3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

【训练2】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.

(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围.

课堂总结：

1.对于三角函数的求值，需关注：

(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；

(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；

(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.

2.三角形中判断边、角关系的具体方法：

(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.

3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sinC，sin＝cos等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.

课后反思：本题为解答第一题，是所有同学需要努力得满分的，一定对基本公式记忆牢固，熟练应用。多多练习。

参考答案：

1.解析＝＝＝＝＝＝3.答案C

2.解析因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.

又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.答案1

3.解析由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，

∴sinC＝，∴＝＝1.答案1

4.解析如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，

∴设AD＝x，则AE＝x，DE＝x，CD＝m，∵BC＝2，∴·sin15°＝1?x＋m＝＋，∴0x4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝＋－x，

∴AB的取值范围是(－，＋).]答案(－，＋)

【例1－1】解析(1)sin(π－α)＝sinα＝－，又α∈，∴cosα＝－＝－＝－.

由cosα＝2cos2－1，∈，得cos＝－＝－.所以sin＝cos＝－.

(2)＝＝＝(cosα＋sinα)＝－.所以cosα＋sinα＝－.

(3)由＝－1得tanα＝，所以cos2－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2

＝sin2α＋sinαcosα＋2(sin2α＋cos2α)＝＝＝＝.

答案(1)B(2)D(3)

探究提高在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即：

(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；

(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；

(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用.

【例1－2】解析因为cos(2α－β)＝－，且＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝.

因为sin(α－2β)＝，且－＜α－2β＜.所以cos(α－2β)＝，

所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－×＋×＝.

又＜α＋β＜，所以α＋β＝.答案

探究提高解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.

【训练1】解析由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，

∴sin(α－β)＝cosα＝sin.∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，

∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.答案B

【例2－1】解析因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)

＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.

法一由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，因为sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

法二由正弦定理、余弦定理得a2b＝b2a，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，

即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

探究提高判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为角的关系A＝B或A＋B＝来判断，也可化为边的关系a＝b或a2＋b2＝c2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.

【例2－2】解(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.

因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.易知sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，

所以sin＝.又0＜A＜π，所以A＝.

(2)法一由(1)得B＋C＝?C＝－B，由正弦定理得＝＝＝＝，

所以b＝sinB，c＝sinC.所以S△ABC＝bcsinA＝×sinB×sinC·sin＝sinB·sinC＝·sinB·sin＝＝sin2B－cos2B＋＝sin＋.

易知－＜2B－＜，故当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝.

法二由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝4?bc＋4＝b2＋c2≥2bc?bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立.所以S△ABC＝bcsinA＝×bc≤×4＝，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为.

探究提高解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件

即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具

即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

【例2－3】解析在△ABC中，AB＝600m，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300m.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100m.。答案100

探究提高求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答.

【训练2】(1)证明由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，在△ABC中，sinA≠0，

所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.

(2)解由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin

＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，

因此＜－2＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.

五、状元学习方法总结：如何让数学取得高分

学习数学最重要的一点就是：新旧结合、注重通法、记忆结论、抠透细节。　　学了新知识，回头看看旧的东西，你会发现可以用新知识解决许多旧问题，同样只要你善于联系，旧知识照样可以解决新问题。例如：用导数解决函数单调性问题，向量解决立体几何问题，数列证明不等式，当然函数也可解决不等式。因此，知识的结合是很重要的。就说数形结合吧，数没有形直观，形没有数逻辑性强，二者刚好互补。同样，结合意味着化归、转化，如：非等比，等差数列转化为等比，等差数列，甚至各项大于0的等比数列取对数也可化为等差数列。所有公式中，万能公式沟通了三角与实数(只需令tana=x)，这不也是一种结合吗?再比如：求y=x+4/x的值域，我们可以分x>;0，x　　知识盲点：　　1.空集的特殊性;　　2.不等式系数的不确定性;　　3.消元过程扩大解集;　　4.均值不等式应用中忽视取等条件;　　5.区分最值与极值;　　6.等比数列小心q=1的情况;　　7.a//b即a=xb(b0);　　8.做题中任何题都应优先定义域;　　9.轨迹及方程问题中注意各轨迹方程的定义，如：圆要求d2+e2-4f>　　0等;　　10.两圆位置关系与半径的联系。　　易错点：　　1.忽略定义域;　　2.分类讨论做不到“不重不漏”;　　3.忽略了定理，定义的限定条件;　　4.向量法求二面角，对其是否大于90度不清楚;　　5.遗漏一些特殊情况，如：空集，求数列通项忽略对n=1的验证，忽略导数不存在的点及斜率不存在的情况等。　　往年云南理科状元　邓侃　　数学是思维的体操。且不谈“粒子之小，　　火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”，处处都闪烁应用数学的光芒，高度抽象的纯粹数学，也有其深刻而动人的美丽，堪称艰深难懂而璀璨美丽的艺术。恰如russell所说：“公正而论，数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美—一种冷峻严肃的美，如同一尊雕塑。”学习数学不仅为了应试解题，更要培养思考问题的逻辑性与严密性，提升思维品质。　　学好数学关键在于思考。看似枯燥无味的数学公式，细心品味其内涵与外延，也能触摸到深刻的美丽。数学教材要通读，从最基本的概念出发，一步步推导出美丽的结论，前后勾连，交织成严密知识网络。记忆公式要学会举一反三，注意不同条件下结论的变化，掌握公式的推广和特例，衍生出解决问题的有效模式。　　平时做题时，不要满足于记忆解答，要体会每一步的“动机”，才算完成了思维训练。只记住步骤而不思索动机，不像在看书，倒像在校稿。习题要精做，关键在于赋予每道题应有的思维分量。习题要精选精做，每做一题，要归纳解题的入口和关键步骤，尝试着改变条件和结论，探索一类题的解法。　　各类考试有严格的时间、空间限制，要做到快速、准确地解题，必须采取一定解题策略，在“理解题目拟定方案执行方案回顾”四个环节里节约时间，提高准确率，争取拿到所有应得的分数。　　高考数学的题型颇有规律可循，平时多进行定时、定量的解题训练，才能突破弱项，提升速度，找到解题的感觉。　　往年广西文科状元　林丽渊　　数学一直是我的强项，可惜高考时由于太过粗心没考出应有水平，我很遗憾。但是，学弟学妹们，现在希望还掌握在你们手中，不管现在成绩如何，还有时间做出调整。只要把握好，高分甚至满分数学和每个人都是等距离的。　　题海战术　　我个人还是比较支持题海战术的。数学考试范围广，题形多。只有多练才能达到多见识的目的，靠典型题目做少量题型得到高分是非常难的。当然，不能盲目做题，要精选题目，而且做完后要总结规律。最好能把做错题目抄录下来，以便最后巩固。　　套题训练　　数学的成绩是练出来的，而且要用符合高考的标准来练，而套题是最符合要求的。我练套题是捏准时间，然后严格打分，通过每星期两三套那样的练下来，找出自己的薄弱知识点，然后重点击破。就这样节节提高，到最后胸有成竹。小建议：套题训练最好留到二轮或者三轮复习时。　　不要马虎　　高考中我就因为马虎而白白丢分，很是遗憾。数学考试中经常听到同学抱怨说：“怎么又马虎粗心了!”或是“这道以前错过的题目怎么又做错了!”为了防止犯低级错误，我的做法是时刻提醒我自己要小心。我经常在考试前在草稿纸或者本子上写上自己平时容易犯的错误，比如一定要记得函数的定义域之类的。然后考试时不停地提醒自己不要犯此类错误，这样效果很好。还有就是，考试时不要总想着做完所有题目后有时间检查，一定要把题做成一遍就过，一遍就对。　　往年新疆理科状元　林佳瑞

六、数学总复习资料

第五章相交线与平行线
5.1相交线
1、过点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最
短）。
3、过两点有且只有一条直线；两点之间线段最短
4、余角：两个角的和为90度,这两个角叫做互为余角；
补角：两个角的和为180度,这两个角叫做互为补角
5、对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。这两个角就是对顶角。对顶角相等。
6、同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，就是同位角。
7、内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。
8、同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角
5.2平行线
1、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、直线平行的条件
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
（同位角相等，两直线平行）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行；
（内错角相等，两直线平行）
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行）
5.3平行线的性质
1、同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等
2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
3、平行公理：
（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
（3）两直线平行，同位角相等；内错角相等，同旁内角互补。
4、判断一件事情的语句，叫做命题。
第六章实数
1、平方根
（1）如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算术平方根；2是指根指
数。
（2）的算术平方根读作“根号”，叫做被开方数；0的算术平方根是0
（3）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2、立方根
（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
3、实数
第七平面直角坐标系
一、有序数对：有顺序的两个数与组成的数对。
1、记作
2、注意：与的先后顺序对位置的影响。
3、坐标平面上的任一点P的坐标，都和唯一的一对有序实数对一一对应；其中为横坐标，为纵坐标。
4、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属任何象限。
二、平面直角坐标系
我们可以在平面内画互相垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系
1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；
2、构成坐标系的各种名称：
水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向
竖直的数轴称为轴或纵轴，习惯上取向上方向为正方向
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
3、各种特殊点的坐标特点。
象限:坐标轴上的点不属于任何象限
第一象限：；
第二象限：
第三象限：
第四象限：
横坐标轴上的点：；纵坐标轴上的点：
4、坐标方法的简单应用
（1）用坐标表示地理位置
（2）用坐标表示平移
5、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：
（1）平行于轴（或横轴）的直线上的点的纵坐标相同；
（2）平行于轴（或纵轴）的直线上的点的横坐标相同；
6、各象限的角平分线上的点的坐标特点:
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反；
即：（1）若点在第一、三象限的角平分线上,则，即横、纵坐标相等；
（2）若点在第二、四象限的角平分线上,则，即横、纵坐标互为相反数；
7、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点
关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
关于轴的对称点为，即横坐标不变，纵坐标互为相反数
关于轴的对称点为，即纵坐标不变，横坐标为相反数
关于原点的对称点为,即横、纵坐标都互为相反数
8、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定轴、轴的正方向
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
9、用坐标表示平移：
10、点到坐标轴的距离：点到轴的距离=纵坐标的绝对值；
点到轴的距离=横坐标的绝对值。
11、对称两点的坐标特征：
（1）关于轴对称两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（2）关于轴对称两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同。
（3）关于原点对称两点：横、纵坐标均互为相反数
第八章二元一次方程组
1、二元一次方程：方程中含有两个未知数和，并且未知数的指数都是，像这样的方程叫二元一次方程。
注意：二元一次方程有无数个解。
2、二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；
注意：一般而，二元一次方程组只有唯一的解。
4：二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法；
消元法：将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法,叫做消元思想
第九章不等式与不等式组`
9.1不等式
1、用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式。使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
2、能使不等式成立的的取值范围，叫做不等式的解的集合；简称解集。含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
3、不等式的性质:
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、三角形中任意两边之差小于第三边；三角形中任意两边之和大于第三边。
9.3一元一次不等式组
1、把两个一元一次不等式合在起来，就组成了一个一元一次不等式组。
第十章数据收集整理与描述
一、知识框架
做统计调查时，通常先采用问卷调查的方法：收集数据l为此要设计；调查问卷，为了更清楚地了解数据地看出表中的信息，还可以用统计图来，描述数据
二、知识概念
1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面查。
2、抽样调查：抽梯查是一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选部分单位进行说查，并据以对全部究对象作估计和推断的一种调查方法。显然，抽样调查虽然是非全面调查但它的目的知在取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调查的作用。
3、抽样调查分类：根据选样本的方，抽样可以分为概丰抽和非概率抽样概率抽样是按照概率论和数理统计的原理从调查研究的总体中，根据随机原则来抽选样本，并从数量上对总体的某些特征作出估计推断，对推断出可能出现的误差可以从概率意义上加以控制。习愦上将概率抽样称为抽样调査。
4、总体:要考察的全体对象称为总体。
5、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。
6、样本:被抽取的所有个体组成一个样本。为了使样本能够正确反映总体情况，对总体要有明确的规定；总体内所有观察单位必须是同质的；在抽取样本的过程中，必须遵守随机化原则:样本的观察单位还要有足够的数量。又称“子样”。按照定的抽样规则从总体中取出的一部分个体。
7、样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。
8、.频数：一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，也称次数。在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目,即落在各类别（分组）中的数据个数。
9、频率:频数与数据总数的比为频率。在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数n(A)称为事件A发生的频数,比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A),用文字表示定义为:每个对象出现的次数与总次数的比值是频率
（1）当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率,这种“频率稳定性”也就是通常所(1)当重复试验的次数n逐渐增大时,频率tfn(A)呈现出稳定性,连渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性
（2）频不等同于概率，由伯努利大数定理当趋向子无大的时候,频率，在一定意义下接近于概率F频公式总体数量一频率。
10、.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范国分成若于各组，分成组，个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
11、频数分布直方图小长方形的面积组距
12、频数分布表的注意事项运用频数分布直方图进行数据分析的时候,一般先列出它的分布表,其中有几个常用的公式:各组频数之和等于抽样数据总数:各组频率之和等于1:数据总数×各组的频率=相应组的频数。
画频数分布直方图的目的,是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表示出来,其中组距、组数起关键作用,分组过少,数据就非常集中:分组过多,数据就非常分散,这就掩盖了分布的特征,当数据在100以内时,一般分5-12组。
13、直方图的特点
通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比(因为比是一个常数,为了画图和看图方便,通常直接用高表示频数),这样的统计图称为频数分布直方图
它能:①清楚显示各组频数分布情况;②易于显示各组之间频数的差别
14、制作频数分布直方图的步骤
（1）找出所有数据中的最大值和最小值,并算出它们的差。
（2）决定组距和组数（3）)确定分点
（4）列出频数分布表。（5）画频数分布直方图

七、历年数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明.(14分)
2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。
（1）时，求的表达式。
（2）证明是偶函数。
（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；
（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求A1B1的取值范围.
6已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
（3）令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？
7已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。
（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
8．已知数列{an}满足
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.
9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
10.对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令
试比较与的大小．
11.：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)
12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋)的定义域为R
(1)求实数m的取值集合M；
(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.
13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)=
(1).求f(的值。
（2）。证明：f(x)在[上是增函数。
（3）。对任意正数x1、x2,求证：
14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有.
、求数列的通项公式.
、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.
15.(12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－，
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.
16.（14分）设f1(x)=,定义fn+1(x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈N.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N,试比较9T2n与Qn的大小.
17．已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．
（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；
（II）若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有AD=BD，试求m的取值范围．
18．已知函数对任意实数p、q都满足
（1）当时，求的表达式；
（2）设求证：
（3）设试比较与6的大小．
19．已知函数若数列：…，
成等差数列.
（1）求数列的通项；
（2）若的前n项和为Sn，求；
（3）若，对任意,求实数t的取值范围.
20．已知△OFQ的面积为
（1）设正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），，
当取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动
点，且2AB=5F1F，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足
1求的通项公式；
②若的前项和为，求.
22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数
（1）求证：对一切为定值；
（2）记求数列的通项公式及前n项和.
24.已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时,=.
(I)求当X0时,的解析式;
(II)试确定函数=(X0)在的单调性，并证明你的结论.
(III)若且，证明：－2.
25、已知抛物线的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0)
⑴求X0的取值范围。
⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。
26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2
⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。
⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程。
⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。
27．（14分）（理）已知椭圆，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）
（t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.
28．已知函数f(x)=的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若数列{an}（n∈N）满足：an0，a1=1，an+1=[f()]2，求数列{an}的通项公式an，并证明你的结论.
30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。
（1）求数列，的通项公式；
（2）若求；
（3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
21．经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点.(12分)
（1）若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程
（2）若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.
1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。
由已知得解得
所以椭圆的方程为，离心率。
（2）解：由（1）可得A（3，0）。
设直线PQ的方程为。由方程组
得，依题意，得。
设，则，①。②
由直线PQ的方程得。于是
。③
∵，∴。④
由①②③④得，从而。
所以直线PQ的方程为或
（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组
注意，解得
因，故
。
而，所以。
2①f(x)=(2k≦x≦2k+2,k∈Z)②略⑶方程在[1，4]上有4个实根
3①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1)SMIN=
4.解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）
则AB∶y＝－x＋1
把BC方程代入椭圆，
是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0
∴BC＝，同理AB＝
由AB＝BC，得k3－a2k2＋ka2－1＝0
（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0
∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0
当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4
由Δ＜0，得1＜a＜
由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1
故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解
由Δ＞0即a＞时有三解
5解：依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x），
得ax2＋2bx＋c＝0.（）
Δ＝4（b2－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点
（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标
则A1B12＝x1－x22，由方程（），知
A1B12＝
∵，而a＞0，∴
∵，∴
∴
∴4［（）2＋＋1］∈（3，12）
∴A1B1∈（，2）
6、解：（1）=
依题意得k==3+2a=－3，∴a=－3
，把B（1，b）代入得b=
∴a=－3，b=－1
（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004。
（1）已知g（x）=－
∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，
1当t＞3时，t－3x2＞0，
∴g（x）在上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
2当0≤t≤3时,
令=0,得x=
列表如下:
x（0,）＋0－g（x）↗极大值↘
g（x）在x=处取最大值－＋t=1
∴t==＜3
∴x=＜1
③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，
∴g（x）在上为增函数，
∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。
7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y）
=（2－x,－y）
∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=
由题意得∣PH∣2=2··
即
即，所求点P的轨迹为椭圆
（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为
所以，双曲线C的实半轴长a=
又
∴双曲线C的方程式为
8.（1）
（2）
9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
故设双曲线C的方程为．
又双曲线C的一个焦点为
∴，．
∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分
（Ⅱ）由得．
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．
因此解得．
又AB中点为，
∴直线l的方程为．………………………………6分
令x=0，得．
∵，
∴
∴．………………………………………………8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，
若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．
根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
①…………………………………………10分
由于点N是线段的中点，设，．
则，即．
代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分
10解：（Ⅰ）因为．所以．……2分
令，得，即．……………4分
（Ⅱ）
又………………5分
两式相加
．
所以，………………7分
又．故数列是等差数列．………………9分
（Ⅲ）
………………10分
………………12分
所以……………………………………………………………………14分
11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0
则OA的方程为y＝kx
由解得A()……4分
又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－x
由解得B(2pk2，－2pk)……4分
从而OA的中点为A'()，OB的中点为B'(pk2，－pk)……6分
所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为
x2＋y2－＝0……①
x2＋y2－2pk2x＋2pky＝0……②……10分
∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0
由①－②并化简得y＝(k－)x……③
将③代入①，并化简得x(k2＋－1)＝2p……④
由③④消去k，有x2＋y2－2px＝0
∴点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点).……13分
12．(1)由题意，有x2－2mx＋2m2＋＞0对任意的x∈R恒成立
所以△＝4m2－4(2m2＋)＜0
即－m2－＜0
∴＞0
由于分子恒大于0，只需m2－3＞0即可
所以m＜－或m＞
∴M＝{mm＜－或m＞}……4分
(2)x2－2mx＋2m2＋＝(x－m)2＋m2＋≥m2＋
当且仅当x＝m时等号成立.
所以，题设对数函数的真数的最小值为m2＋……7分
又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f(x)≥log3(m2＋)
∴当且仅当x＝m(m∈M)时，f(x)有最小值为log3(m2＋)……10分
又当m∈M时，m2－3＞0
∴m2＋＝m2－3＋＋3≥2＋3＝9
当且仅当m2－3＝，即m＝±时，
log3(m2＋)有最小值log3(6＋)＝log39＝2
∴当x＝m＝±时，其函数有最小值2.
13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，
同法得f(
(2).证明：f/(x)=而当x时，
2x2-tx-2=2(x-故当x时,f/(x)≥0,
函数f(x)在[上是增函数。
（3）。证明：
,同理.
又f(两式相加得:
即
而由（1），f(且f(,
.
14()当时,,
,又{an}各项均为正数,.数列是等差数列,
(),若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又，.的最大值是.
15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0),2分
由·=0，得（3，－）(x,)=0,又得y2=4x,5分
由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.6分
（2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,①7分
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－,x1x2=1,
所以，线段AB的中点坐标为(,),8分
线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－),9分
令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)
因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜,
而｜AB｜==·,10分
所以，=,11分
解得k=±,得x0=.12分
16.（1）f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1［fn(0)］=,
an+1====－=－an,4分
∴数列｛an｝是首项为,公比为－的等比数列，∴an=(－)n－1.6分
（2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n－1)a2n－1+2na2n,
－T2n=(－a1)+(－)2a2+(－)3a3+…+(－)(2n－1)a2n－1+(－)·2na2n
=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n,8分
两式相减得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n,
所以，T2n=+n×(－)2n－1=－(－)2n+(－)2n－1,10分
T2n=－(－)2n+(－)2n－1=(1－).∴9T2n=1－,
Qn=1－,12分
当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn;
当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn;13分
当n≥3时，22n=［（1+1）n］2
=(C+C+C+…+C)2＞(2n+1)2,∴9T2n＞Qn.14分
17．解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+,y),
–=（x,0）(1,y)=(x,–y).(+)(),
(+)·()=0,(x+)(x)+y·(y)=0,
故P点的轨迹方程为．（６分）
（II）考虑方程组消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0()
显然1-3k20,=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)0.
设x1,x2为方程的两根，则x1+x2=，x0=,y0=kx0+m=,
故AB中点M的坐标为（，）,
线段AB的垂直平分线方程为y=（）,
将D（0，–1）坐标代入，化简得4m=3k21,
故m、k满足消去k2得m24m0,解得m0或m4.
又4m=3k211,故m(,0)(4,+)．（１２分）
18．(1)解由已知得
．(4分)
(2)证明由(1)可知设
则
．
两式相减得+…+
．（9分）
（3）解由（1）可知
则=
故有=6．（１４分）
19．（1）
（2）
（3）
为递增数列中最小项为
20．（1）
（2）设所求的双曲线方程为
又由
当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为
所求方程为
（3）设的方程为的方程为则有①
②
③设由①②得
，
代入③得的轨迹为
焦点在y轴上的椭圆.
21、解：（1）为偶函数
为奇函数
是以为首项，公比为的等比数列.
（2）
22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）
设椭圆方程为：
令∴
∴椭圆C的方程是：
（2），，l⊥AB时不符，
设l：y＝kx＋m（k≠0）
由
M、N存在
设M（，），N（，），MN的中点F（，）
∴，
∴∴∴∴且
∴l与AB的夹角的范围是，．
23、（1）
24、（1）当X0时,（3分）
（2）函数=(X0)在是增函数；（证明略）（9分）
（3）因为函数=(X0)在是增函数，由x得；
又因为，所以，所以；
因为，所以，且，即，
所以，-2≤f(x1)–f(x2)≤2即－2.（14分）
25、解：⑴由题意易得M(-1,0)
设过点M的直线方程为代入得
………………………………………（１）
再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）
则ｘ１＋x2=，ｘ１·x2=１
y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k=
∴ＡＢ的中点坐标为（）
那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为，令得
，即
又方程（１）中△＝
⑵若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于
点到AB的距离d=
据得：
∴，∴，满足
∴△ABD可以为正△，此时
26、解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）

八、函数的复习建议解读

函数的复习建议
郑中钧中学数学科组黄贤秋
函数是高中数学中重要的基础知识，也是高中数学的主体知识。函数方程思想贯穿整个高中数学，是思考和解决数学问题的重要思想，对分析和解决各种数学问题和实际应用问题具有重要的作用。它融汇了配方法，换元法，待定系数法，反证法，数形结合，分类讨论，等价转化等许多数学思想方法，其特点是内容多，联系广，方法灵活，综合性强，主要考察逻辑思维及分析和解决问题的能力。因此函数在高考试题中有重要的地位，是历届高考考点的重中之重，约占总分的20％～25％。
近年来各省高考试卷对函数的考查非常重视，有基本知识层面的，如定义域，值域，单调性，奇偶性，求值，幂函数，指数函数，对数函数，二次函数。另外也有能力层面上的，更有创新层面上的如新定义的函数，新情境问题，函数本质的挖掘等等。
高三函数复习不是简单的知识重复，而是再认识，再提高的过程。复习中的最大矛盾是时间短，内容多，要求高，而且高一学习函数时是走马观花，匆匆而过，学生中知道皮毛的已是很不错的了，大部分学生一点印象都没有，这就要求在上复习课时既要做到突出重要点，抓住典型，又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系，使学生在掌握规律中理解，记忆，熟练，提高，因此提出如下建议：
一、突出《考试说明》的导向性作用。
1、集合
（1）集合的含义与表示；（2）集合间的基本关系；（3）集合的基本运算。
2、函数概念与基本初等函数（指数函数，对数函数，幂函数）
（1）函数
1了解构成函数的三要素，会求一些简单的函数的定义域和值域，了解映射的概念。
2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法，解析法）表示函数。
3了解简单的分段函数，并能简单的应用。
4理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义。
5会应用函数图象理解和研究函数的性质。
（2）指数函数
1了解指数函数模型的实际背景。
2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点。
4知道指数函数是一类重要的函数模型。
（3）对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式，能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数的简化运算中的作用。
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。
④了解指数函数与对数函数互为反函数
（4）幂函数
①了解幂函数的概念；
②结合函数的图象，了解它们的变化情况。
（5）函数与方程
①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数。
②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
（6）函数模型及其应用
①了解指数函数，对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长，对数增长等不同函数类型增长的含义。
②了解函数模型（如指数函数，对数函数，幂函数，分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛运用。
二、重视多套教材的基础作用和示范作用
现阶段有一份《课标》多套教材并存，如何使用教材并在复习备考中发挥作用呢？函数客观题一般直接来源于教材，往往就是课本的原题或变式题。主观题的生长点也是教材，这要求我们在函数复习备考中可在多套教材中选择一些有典型意义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题，贯彻“源于课本，高于课本”的原则
如06年广东卷第一题：函数的定义域是（）
第三题：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
07年广东卷第1题：已知函数的定义域为M，的定义域为N，则=（）
第14题设函数，则=，若，则的取值范围是。
07年广东第12题，函数的单调递增区间；
文科第1题：已知道集合，，则=（）
以上仅举了2006年、2007年广东高考函数客观题都可在多套教材中找到原型，这就告诉我们不可忽视教材的作用。
三、函数复习要阐明知识系统，掌握内在联系。
知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志。函数概念与性质是环环相扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的网络化的知识体系，这就要求我们在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有这样，学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛的。
如在复习集合、映射、函数过程中，先理出集合的概念、表示法、运算法则，再讲授对应、映射、一一映射，最后介绍函数概念、性质、种类。
又如在介绍幂函数图象时，很多学生对幂函数图象的学习感到异常吃力、难以记忆，所以在讲授时有目的的介绍这几个函数的图象：通过图象对比认识，学生们知道幂指数为负时过（1，1）点，幂指数为正时过（0，0），（1，1）点，都不过第四象限。
由类比到，由类比到
由类比到，由类比到
由类比到，由类比到
由上可知，所有幂函数的大致图象都可画出。
四、函数复习重视渗透数学的思想方法。
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，单纯的知识教学只能使学生知识的积累，而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中，函数这一部分重要的数学思想方法于函数与方程思想，分类讨论思想，等价转化思想，数形结合的思想，数学方法有配方法，换元法，待定系数法，比较法等。
数学思想是以具体的知识为依托的，在复习教学中，要重视知识的形成过程，着重研究解题的思维过程，有意识的渗透思想方法，使学生从更高层次去领悟，去把握，去反思数学知识，增强数学意识，提高数学能力。
如2003年北京卷：若集合，，则=（）
及（1998年全国卷）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量为V与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是：（）
这两道题都考查的是数形结合思想
又如（2002年全国卷）函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则=（）
及函数的图象是
此题既考查数形结合，也考查了分类讨论思想
如（1996年全国卷）设是上的奇函数，，当时，，则=（）
（A）0.5（B）-0.5（C）1.5（D）-1.5
本题就考查了化归与转化的思想
如（07年广东卷第20题）
已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
本题考查分类讨论思想，函数与方程思想。
及（04年浙江卷）
（浙江文）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（）
（A）（B）（C）（D）
本题考查的是函数与方程的思想
五、函数复习中重视变式题的教与练
思维能力是数学练习的核心，在函数复习中重点加强题组教学，精心编制题组，结合学生训练，达到锻炼学生举一反三，随机应变的能力。
例如：求函数的定义域。
在此基础上，作如下变化，让学生考虑函数的定义域：
……
六、函数复习中重视几类特殊函数（抽象函数，分段函数）
由于抽象函数没有给出具体的解析式，所以理解研究起来比较困难，但是这类问题对培养学生观察能力，有十分重要的作用，近几年来高考无论是客观题还是主观题中都有涉猎。在解决抽象函数问题时，联想这个抽象函数与我们学过的什么函数近似？如
，，可看作是。再如可看作，
这样就把抽象问题转化为熟悉的函数问题。特别是解选择、填空等客观题时，运算过程大为简洁，准确性大大提高。
再则研究抽象函数性质时（如证明周期函数时）一般采用“整体代换”的方法；判定奇偶性时，一般采用“赋值法”，求抽象函数值时，也可采用赋值法。
如（2005广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．
分段函数作为一种特殊函数，在高考中对其所具有的性质的考查是目前的热点之一，特别对分段函数的复习与一般函数有着明显区别的地方从解析式上就可看到分类讨论的思想，所以要由浅入深，由表及里，多次渗透以至掌握好分段函数。
如：（2005年浙江卷）对，记，
函数的最小值是。
又如（1998年上海卷）函数
的最大值是。
至于函数与导数的关系问题想必老师们都会给予重视，所以不再一一赘述，本文参考了一些专家的观点，若有不当之处，请予指正。

九、2020数学复习名题选萃排列、组合、二项式定理

2020高考数学复习名题选萃排列、组合、二项式定理
一、选择题
1．小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
[]
A．26B．24
C．20D．19
2．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有
[]
3．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
[]
A．24个B．30个
C．40个D．60个
4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
[]
A．150种B．147种
C．144种D．141种
5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有
[]
A．90种B．180种
C．270种D．540种
－(a1＋a3)2的值为
[]
A．1B．－1
C．0D．2
二、填空题
7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．
8．在(3－x)7的展开式中，x5的系数是________．(用数字作答)
9．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．
10．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋1(n∈N)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．
11．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选法有________种(结果用数值表示)．
12．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个(用数字作答)．
13．在(1＋x)6(1－x)4的展开式中，x3的系数是________(结果用数值表示)．
14．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种(结果用数值表示)．
16．从集合｛0，1，2，3，4，5，7，11｝中任取3个元素分别作直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得经过坐标原点的直线有________条(结果用数值表示)．
17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________(用数字作答)．
＝________．
19．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种(用数字作答)．
三、解答题
21．已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
(2)证明(1＋m)n＞(1＋n)m．
参考答案提示
一、选择题
1．D2．D3．A4．D5．D6．A
提示：6．本小题考查二项式定理的有关知识．解法1：由二项式
二、填空题
7．2528．－1899．2n(n－1)
10．1111．35012．3213．－8
14．144015．416．3017．17918．4
19．12．提示：解法1：若A、B之间间隔6垄，如果A在左，B在右，A的左边可以有2垄、1垄、0垄，相应B的右边有0垄、1
种．若A、B之间间隔7垄，若A在左，B在右，A的左边可以有1
(种)．解法2：用插空的方法．中间的6垄与两旁的A、B两垄先排好，A的两边有2个空，B的两边有2个空，这4个空选2个空种植其他2
三、解答题
21．(略)

十、数学圆的知识点总结

一、知识回顾
圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2
圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圆半径，r是小圆半径）
三、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5）无交点；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
顶点到圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④弧弧
七、圆周角定理
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积
2、圆柱：
（1）A圆柱侧面展开图
=
B圆柱的体积：
（2）A圆锥侧面展开图
=
B圆锥的体积：