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高中数学439个知识点,高考439个知识点

时间:2023-02-09 16:08:09 作者:周老师 字数:87265字

  1、高中数学的知识点比较多,而且知识点之间又有一定的内在联系,要学会抓住主要问题,重点解决。

  2、高中数学内容都是高考必考的,所以同学们在平时就要特别重视这方面的学习,加强记忆和理解。

  3、高中数学是所有学科中难度最大的一个学科了,要想学好它就必须要有扎实的基础知识和基本技能。

  4、数学基础是学好其他学科必不可少的前提条件。

  5、在高中学习中我们必须掌握一些常用的函数方法,只有这样才能更好地进行高中阶段的各阶段学习。

  6、在高中学习中我们必须掌握“三角形三边关系”和“圆的方程组”两大类基本题型。

  7、在高中数学学习中我们必须掌握基本的运算法则和性质定理等基础知识,还需要学会合理分配时间及加强对解题方法和技巧进行总结。

  8、高中数学知识内容多而杂,这就要求同学们养成良好的学习习惯,有条理地安排时间,注重学习方法的总结及灵活运用。

  9、在高中数学中我们必须要了解代数基本思想及代数基本技能是学好数学不可缺少的重要环节之一。

  10、如果没有良好习惯,即使你有高深理论知识也无法很好掌握。

  如果还需要了解跟多关于高中数学439个知识点,高考439个知识点,接下来为你提供二十篇精选关于高中数学439个知识点,高考439个知识点的知识。

一、数学

总事件, 分事件,求概率。
且或非, 原逆否,断真假。
线线面面,几何图形,三维空间。
X Y原点,函数图形,千变万化。
不等方程,相互联立,区域求解。

二、数学重要资料

相信熟记以下基本知识点,你一定会旗开得胜!
1、一元二次方程求根公式:
2、a+b、a-b、ab、a2+b2(知二求二)
3、用点的坐标表示线段长:一定要加绝对值
若已知两点A、B的坐标:则AB=右-左、AB=上-下
见坐标、想代入;
见坐标、作垂直(向x轴、y轴作垂直)横平竖直
4、1)双曲线与直线y=±x的交点,到原点距离最近
2)直线y1和双曲线y2
①当y1y2时,cx0或xm


=
3)已知范围过原点,所求范围:或
已知范围不过原点,所求范围:两边夹
4)函数增减性:反比例函数、二次函数后面没括号,说增减性,一定错,有括号不一定对。二次函数增减性,看对称轴和a的性质:a0时,离对称轴越近,函数值越小,a0时,离对称轴越近,函数值越大(一定要画草图)
5、角平分线+平行→等腰
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3
∴AB=AD
6、线段的中垂线:
见线段的中垂线,作中垂线上的点到线段两端点的距离,则这两个距离相等
7、等腰三角形:
1)等腰三角形两种分类方法:
ⅰ、分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形
若求顶角,则两顶角互补;若求底角,则两底角互余
ⅱ、△ABC是等腰三角形:①AB=AC②BA=BC③CA=CB
工具:用圆规
2)黄金等腰三角形:
△ABC∽△BCD
8、直角三角形:
常用勾股数:
3、4、5;6、8、10;9、12、15
12、16、20;15、20、25;5、12、13
8、15、17;7、24、25注意勾股比的应用
9、相似:
1)等等等?
∵∠1+90°=∠2+90°
∴∠1=∠2
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
2)母子相似图(知二求四)
∠1=∠C、∠2=∠B
在Rt△ABC中,
∵AD⊥BC
∴BA2=BD·BC、DA2=DB·DC、CA2=CD·CB、AB·AC=BC·AD
10、四边形:熟记所有定义、性质、判定
1)平行四边形为中心对称图形,
等腰三角形(等边三角形)为轴对称图形
等腰梯形为轴对称图形
矩形、菱形、正方形既轴对称也中心对称
任意多边形外角和均为360°
2)等腰梯形:上底=腰,加下列中的
任意一个,则可得到其他结论
BC=2AD,∠A=120°,∠ABC=60°
BD⊥CD,BD平分∠ABC
3)等腰梯形:对角线互相垂直
S梯形ABCD=S△DBE=
4)中点四边形:
原四边形对角线相等,则中点四边形是菱形
原四边形对角线垂直,则中点四边形是矩形
原四边形对角线相等且垂直,则中点四边形是正方形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
5)菱形:加对角线,小直角大等腰,特别注意两邻角分别为60°、120°和30°、150°的情况
当∠BAD=60°时,AB=BD,BD:AC=1:
菱形面积S=AB·DE=
当∠BAD=30°时,则DE=
6)矩形:加对角线,小等腰大直角
7)直角梯形:常用辅助线:作高
11、解直角三角形:
1)已知30°的对边求邻边:×
已知30°的对边求斜边:×2
已知30°的邻边求对边:÷
已知30°的邻边求斜边:÷×2
已知斜边求30°的对边:÷2
已知斜边求30°的邻边:÷2×
2)已知直角边求斜边:×
已知斜边求直角边:÷
3)
4)已知腰求底:×
已知底求腰:÷
5)特殊角三角函数值:
sin30°=cos30°=tan30°=
sin45°=cos45°=tan45°=1
sin60°=cos60°=tan60°=
6)正弦:
余弦:=
正切:tan
7)已知一边、一个三角函数:设k法
8)注意转化角的应用
12、在直线l上找一点P使它到已知两点A、B距离之和最小(A、B在直线l同侧)
方法:作出点A关于直线l的对称点C,
连接BC交直线l于P,则点P即为所求
此时,BC即为PA+PB的最小值
或在直线l上找一点P使它到已知两点
A、B距离之差最大(A、B在直线l两侧)
方法同上,BC即为PB-PA的最大值
13、分类:
1)见等腰,想分类
2)见高,想分类
3)相似中的分类
以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似
4)四边形中的分类
以A、B、C、D为顶点的四边形

三、数学常用公式大全

高中数学常用公式大全
1.元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.集合的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个;非空的真子集有–2个.
4.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
5.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:(可画图解决问题)
(1)当a0时,若,则;
,,.
(2)当a0时,若,则,若,则,.
7.真值表
pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假
8.常见结论的否定形式
原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有()个小于不小于至多有个至少有()个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或
9.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题
若p则q若q则p
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非p则非q互逆若非q则非p
10.充要条件
(1)充分条件:若,则是充分条件.
(2)必要条件:若,则是必要条件.
(3)充要条件:若,且,则是充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
11.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
12.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
13.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
14.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)同底的指数和对数函数互为反函数,图像关于直线y=x对称。
15.几个函数方程的周期(约定a0),则的周期T=a;
16.分数指数幂
(1)(,且).
(2)(,且).
17.根式的性质
(1).
(2)当为奇数时,;当为偶数时,.
18.有理指数幂的运算性质
(1).
(2).
(3).
注:若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
19.指数式与对数式的互化式
.
20.对数的换底公式
(,且,,且,).
推论(,且,,且,,).
21.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
(2);
(3).
22.数列的同项公式与前n项的和的关系
(数列的前n项的和为).
23.等差数列的通项公式;
其前n项和公式为.
24.等比数列的通项公式;
其前n项的和公式为或.
25.同角三角函数的基本关系式
,=,
27.正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。
28.和角与差角公式
;
;
.
=
(辅助角所在象限由点的象限决定,).
29.二倍角公式
.
.
.
30.三角函数的周期公式
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期;
函数,(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
31.正弦定理.
32.余弦定理
;;.
33.面积定理
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2).
34.三角形内角和定理
在△ABC中,有
sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)
35.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
36.向量的数量积的运算律:
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
37.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
38.向量平行的坐标表示
设a=,b=,且b0,则ab(b0).
39.a与b的数量积(或内积)
a·b=abcosθ.
40.a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积.
41.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=,则a+b=.
(2)设a=,b=,则a-b=.
(3)设A,B,则.
(4)设a=,则a=.
(5)设a=,b=,则a·b=.
42.两向量的夹角公式
(a=,b=).
43.平面两点间的距离公式
=
(A,B).
44.向量的平行与垂直
设a=,b=,且b0,则
Abb=λa.
ab(a0)a·b=0.
45.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
46.三角形四“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心.
47.常用不等式:
(1)(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4).
48.均值定理
已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
49.一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

.
50.含有绝对值的不等式
当a0时,有
.
或.
51.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;
52..斜率公式
(、).
53.直线的五种方程
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).
(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式()(、()).
(4)截距式(分别为直线的横、纵截距,)
(5)一般式(其中A、B不同时为0).
54.两条直线的平行和垂直
(1)若,
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①;
②;
55.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是(),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量.
56.点到直线的距离
(点,直线:).
57.或所表示的平面区域
设直线,则或所表示的平面区域是:
若,当与同号时,表示直线的上方的区域;当与异号时,表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若,当与同号时,表示直线的右方的区域;当与异号时,表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
58.或所表示的平面区域
设曲线(),则
或所表示的平面区域是:
所表示的平面区域上下两部分;
所表示的平面区域上下两部分.
59.圆的四种方程
(1)圆的标准方程.
(2)圆的一般方程(>0).
60.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若,则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
61.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
62.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,
;
;
;
;
.
63.椭圆的标准方程及简单的几何性质
64.椭圆的的内外部
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
65.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
66.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为渐近线方程:.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
67.抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
68.抛物线上的动点可设为P或P,其中.
69.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或AB=
(弦端点A,由方程消去y得到,,为直线的倾斜角,为直线的斜率).
71.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
72.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
73.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
74.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
75.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
77.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b存在实数λ使a=λb.
三点共线.
、共线且不共线且不共线.
78.球的半径是R,则
其体积,
其表面积.
79.柱体、锥体的体积
(是柱体的底面积、是柱体的高).
(是锥体的底面积、是锥体的高).
80.互斥事件A,B分别发生的概率的和
P(A+B)=P(A)+P(B).
81.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
82.独立事件A,B同时发生的概率
P(A·B)=P(A)·P(B).
83.n个独立事件同时发生的概率
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
84.回归直线方程
,其中.
85.相关系数r
r≤1,且r越接近于1,相关程度越大;r越接近于0,相关程度越小.
86.函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
87.几种常见函数的导数
(1)(C为常数).
(2).
(3).
(4).
(5);.
(6);.
88.导数的运算法则
(1).
(2).
(3).
89.判别是极大(小)值的方法
当函数在点处连续时,
(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.
90.复数的相等
.()
91.复数的模(或绝对值)
==.
92.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).

四、数学知识点总结——函数

一、函数的定义域的常用求法:  1、分式的分母不等于零;  2、偶次方根的被开方数大于等于零;  3、对数的真数大于零;  4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;  5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;  6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。  二、函数的解析式的常用求法:  1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法  三、函数的值域的常用求法:  1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法  四、函数的最值的常用求法:  1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法  五、函数单调性的常用结论:  1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数  2、若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数  3、若f(x)与g(x)的单调性相同,则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同,则f[g(x)]是减函数。  4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。  5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。  六、函数奇偶性的常用结论:  1、如果一个奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0,如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0(反之不成立)  2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。  3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。  4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。  5、若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)],该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

五、圆的知识点归纳总结大全

一、圆的定义。
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径:圆上一点与圆心的连线段。
2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
(1)劣弧:小于半圆周的弧。
(2)优弧:大于半圆周的弧。
5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。
6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论:
?平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
?平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r,OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。)
8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;
直线与圆没有交点,直线与圆相离。
2
9、平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。
则AB=
10、圆的切线判定。
(1)d=r时,直线是圆的切线。
切点不明确:画垂直,证半径。
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确:连半径,证垂直。
11、圆的切线的性质(补充)。
(1)经过切点的直径一定垂直于切线。
(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
(1)切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。
(2)切线长定理。
∵PA、PB切⊙O于点A、B
∴PA=PB,∠1=∠2。
13、内切圆及有关计算。
(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。
(2)如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。
求:AD、BE、CF的长。
分析:设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.
可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3
(3)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。
求内切圆的半径r。
分析:先证得正方形ODCE,
得CD=CE=r
AD=AF=b-r,BE=BF=a-r
b-r+a-r=c
得r=
14、(补充)
(1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。
如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。
(2)相交弦定理。
圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD。
(3)切割线定理。
如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA2=PB·PC。
(4)推论:如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PA·PB=PC·PD。
15、圆与圆的位置关系。
(1)外离:dr1+r2,交点有0个;
外切:d=r1+r2,交点有1个;
相交:r1-r2dr1+r2,交点有2个;
内切:d=r1-r2,交点有1个;
内含:0≤dr1-r2,交点有0个。
(2)性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
(1)弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。
L=
(2)扇形的面积用S表示。
S=S=
(3)圆锥的侧面展开图是扇形。
r为底面圆的半径,a为母线长。
?扇形的圆心角α=
?S侧=arS全=ar+r2

圆的知识点归纳总结大全

六、初等数论知识点汇总数学

第一节整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们发明了进位制,这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现,比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m位的正整数A,其各位上的数字分别记为,则此数可以简记为:(其中)。
由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A可以表示成10的次多项式,即,其中且,像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中,通常将下标10省略不写,并且连括号也不用,记作,以后我们所讲述的数字,若没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用0与1这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性,我们给出正整数A的p进制表示:
,其中且。而仍然为十进制数字,简记为。
第二节整数的性质及其应用(1)
基础知识
整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1.整除的概念及其性质
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。
定义:设是给定的数,,若存在整数,使得则称整除,记作,并称是的一个约数(因子),称是的一个倍数,如果不存在上述,则称不能整除记作。
由整除的定义,容易推出以下性质:
(1)若且,则(传递性质);
(2)若且,则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质,易知及,则对于任意的整数有。更一般,若都是的倍数,则。或着,则其中;
(3)若,则或者,或者,因此若且,则;
(4)互质,若,则;
(5)是质数,若,则能整除中的某一个;特别地,若是质数,若,则;
(6)(带余除法)设为整数,,则存在整数和,使得,其中,并且和由上述条件唯一确定;整数被称为被除得的(不完全)商,数称为被除得的余数。注意:共有种可能的取值:0,1,……,。若,即为被整除的情形;
易知,带余除法中的商实际上为(不超过的最大整数),而带余除法的核心是关于余数的不等式:。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积,在较为初级的问题中,这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生,下面两个分解式在这类论证中应用很多,见例1、例2。
若是正整数,则;
若是正奇数,则;(在上式中用代)
(7)如果在等式中取去某一项外,其余各项均为的倍数,则这一项也是的倍数;
(8)n个连续整数中,有且只有一个是n的倍数;
(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数,特别地,三个连续的正整数之积能被6整除;
2.奇数、偶数有如下性质:
(1)奇数奇数=偶数,偶数偶数=偶数,奇数偶数=奇数,偶数偶数=偶数,奇数偶数=偶数,奇数奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差仍为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数,奇数与偶数的和为奇数,和为偶数;
(2)奇数的平方都可以表示成的形式,偶数的平方可以表示为或的形式;
(3)任何一个正整数,都可以写成的形式,其中为负整数,为奇数。
(4)若有限个整数之积为奇数,则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数,它必为偶数。
3.完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。平方数有以下性质与结论:
(1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9;
(2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;
(3)奇数平方的十位数字是偶数;
(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;
(5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整数的数的平方能被3整除。因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7;
(6)平方数的约数的个数为奇数;
(7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
(8)设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若()=1,则都是整数的次方幂。一般地,设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若两两互素,则都是正整数的k次方幂。
4.整数的尾数及其性质
整数的个位数也称为整数的尾数,并记为。也称为尾数函数,尾数函数具有以下性质:
(1);(2)=;
(3);(4);;
(5)若,则;(6);
(7);
(8)
5.整数整除性的一些数码特征(即常见结论)
(1)若一个整数的未位数字能被2(或5)整除,则这个数能被2(或5)整除,否则不能;
(2)一个整数的数码之和能被3(或9)整除,则这个数能被3(或9)整除,否则不能;
(3)若一个整数的未两位数字能被4(或25)整除,则这个数能被4(或25)整除,否则不能;
(4)若一个整数的未三位数字能被8(或125)整除,则这个数能被8(或125)整除,否则不能;
(5)若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数,则这个数能被11整除,否则不能。
6.质数与合数及其性质
1.正整数分为三类:(1)单位数1;(2)质数(素数):一个大于1的正整数,如果它的因数只有1和它本身,则称为质(素)数;(3)如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子,则称这个自然数为合数。
2.有关质(素)数的一些性质
(1)若,则的除1以外的最小正因数是一个质(素)数。如果,则;
(2)若是质(素)数,为任一整数,则必有或()=1;
(3)设为个整数,为质(素)数,且,则必整除某个();
(4)(算术基本定理)任何一个大于1的正整数,能唯一地表示成质(素)因数的乘积(不计较因数的排列顺序);
(5)任何大于1的整数能唯一地写成①的形式,其中为质(素)数()。上式叫做整数的标准分解式;
(6)若的标准分解式为①,的正因数的个数记为,则。
第三节整数的性质及其应用(2)
基础知识
最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念,这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.(最大公约数)设不全为零,同时整除的整数(如)称为它们的公约数。因为不全为零,故只有有限多个,我们将其中最大一个称为的最大公约数,用符号()表示。显然,最大公约数是一个正整数。
当()=1(即的公约数只有)时,我们称与互素(互质)。这是数论中的非常重要的一个概念。
同样,如果对于多个(不全为零)的整数,可类似地定义它们的最大公约数()。若()=1,则称互素。请注意,此时不能推出两两互素;但反过来,若()两两互素,则显然有()=1。
由最大公约数的定义,我们不难得出最大公约数的一些简单性质:例如任意改变的符号,不改变()的值,即;()可以交换,()=();()作为的函数,以为周期,即对于任意的实数,有()=()等等。为了更详细地介绍最大公约数,我们给出一些常用的一些性质:
(1)设是不全为0的整数,则存在整数,使得;
(2)(裴蜀定理)两个整数互素的充要条件是存在整数,使得;
事实上,条件的必要性是性质(1)的一个特例。反过来,若有使等式成立,不妨设,则,故及,于是,即,从而。
(3)若,则,即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数;
(4)若,则;
(5)若,则,因此两个不互素的整数,可以自然地产生一对互素的整数;
(6)若,则,也就是说,与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出:若,对于有,进而有对有。
(7)设,若,则;
(8)设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若()=1,则都是整数的次方幂。一般地,设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若两两互素,则都是正整数的次方幂。
定义2.设是两个非零整数,一个同时为倍数的数称为它们的公倍数,的公倍数有无穷多个,这其中最小的一个称为的最小公倍数,记作,对于多个非零实数,可类似地定义它们的最小公倍数[]。
最小公倍数主要有以下几条性质:
(1)与的任一公倍数都是的倍数,对于多于两个数的情形,类似结论也成立;
(2)两个整数的最大公约数与最小公倍满足:(但请注意,这只限于两个整数的情形,对于多于两个整数的情形,类似结论不成立);
(3)若两两互素,则[]=||;
(4)若,且两两互素,则|。
第四节同余
同余式性质应用非常广泛,在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能,与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。
基础知识
三个数论函数
对于任何正整数均有定义的函数,称为数论函数。在初等数论中,所能用到的无非也就有三个,分别为:高斯(Gauss)取整函数[x]及其性质,除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数和它的计算公式。
1.高斯(Gauss)取整函数[]
设是实数,不大于的最大整数称为的整数部分,记为[];称为的小数部分,记为{}。例如:[0.5]=0,等等。
由的定义可得如下性质:
性质1.;
性质2.;
性质3.设,则;
性质4.;;
性质5.;
性质6.对于任意的正整数,都有如下的埃米特恒等式成立:

为了描述性质7,我们给出如下记号:若,且,则称为恰好整除,记为。例如:我们有等等,其实,由整数唯一分解定理:任何大于1的整数能唯一地写成的形式,其中为质(素)数()。我们还可以得到:。
性质7.若,则
请注意,此式虽然被写成了无限的形式,但实际上对于固定的,必存在正整数,使得,因而,故,而且对于时,都有。因此,上式实际上是有限项的和。另外,此式也指出了乘数的标准分解式中,素因数的指数的计算方法。
2.除数函数d(n)
正整数的正因数的个数称为除数函数,记为d(n)。这里给出d(n)的计算公式:

七、(word完整版)浅谈如何学好数学

(word完整版)浅谈如何学好高中数学
浅谈如何学好高中数学
一、要有良好的心理素养和浓厚的学习兴趣
良好的心理素养、近乎痴迷的兴趣是高效率学习数学的前提,也是在最后的考试中取胜的必要条件。大多数同学都会觉得繁重的数学学习几乎让人喘不过气来,遇到一道难解的题,或者期末考试考砸了,更是郁闷至极;也许,此时的我们,都会有一种很不舒服的压抑感――这是由繁重的学习任务,紧张的竞争氛围,沉重的学习压力造成的;可是,我们能逃避吗?难道就这样被动的忍受吗?不,既然不能逃避,那唯一的办法,就是去正视他,化解它!心情不愉快的时候总会有的,怎么办呢?是继续硬着头皮学习吗?不是,而是要迅速让自己摆脱不愉快,达到最佳的学习状态。遇到这种情形,可以找一个自己信任的人,把自己的不快倾诉出来,寻求他人的理解,这样,就能很快收回烦恼的心,专心学习,也才能保证学习的效率。怎么样?试试看就知道了!此外,由于学习太紧张,再加上学习中难免会有这样那样的不顺心的事情,我建议,我们每天都要找一个时间,最好是在傍晚的时候,走出教室、走出家门,在安静的地方走一走,放松一下,回顾一下一天的学习和生活,表面上看起来这样做耽误了一些时间,但实际上有了一个轻松愉快的心境,就会提高学习效率。
除此之外,对自己还要有十足的自信,自信的学习,自信的走入考场,就能自信的取得成功,如果做不到这一点,精神太紧张,特别是在考试的时候,就很难将自己的水平发挥出来,更不要说超水平发挥了。那么,数学学习中、考场上,什么是心理的最高境界呢?一句话,“宠辱不惊”!也就是说,不管遇到什么样的情况,都能兴趣不减,心静如水,沉稳对付;如果感到题目比较难,不好对付,能做到既不紧张也不失望,依然我行我素,全力以赴;反之,如果感到题目比较容易,也能做到不喜形于色,以至于放松了警惕,漏洞百出。也许,你已经有了这方面的感触,比如有的时候感到题目非常容易,却并没有取得一个意料中的好成绩;而有的时候,感到题目非常难,结果也没有考的一塌糊涂!原因很简单,不管平时的习题或考试题目怎么样,都是大家来承受,决定你成绩如何的不是题目的难易,也不是你的绝对成绩,而是你在全体同学或考生中的位置,而是你是否发挥出了自己的水平。因而,不管遇到什么样的情形,都要不受其影响,按照预定的计划和步骤学习和考试,发挥出自己的最好水平。当然,真能做到这一点,也非常不易,但是,只要我们有意识的去锻炼,去努力,就一定会有收获!对我们学生而言,学习占据了生活的大部分内容,那么,我们就把学习、考试作为演练场,有意识的去提高自己数学的心理素养,培养自己的兴趣,从而成为保持最佳的心理状态,成为最终的胜利者。
二、要有良好的学习方法和解决问题的办法
1、做一个个人错题集。我给同学们一个公式:少错=多对。如果做错了题目,不管发现什么错误,不管是多么简单的错误,都收录进来;我相信,一旦你真的做起来,你就会吃惊的发现,你的错误并不是更正一次就可以改掉的,相反,有很多错误都是第二次、第三次犯了,甚至于更多次!看着自己的错体集,哎呀,太触目惊心了。这真是一个自我反省的好地方,更是一个提高成绩的好方法。复习越往后,在知识上取得突破的可能性就越小,而能纠正自己的错误,实在是一个不小的增长空间。如果你还没有这个习惯,那么,就去准备一个吧,收集自己的错误,分门别类,然后没事的时候就翻一翻,看一看,自警一番,肯定会有很大的收获。
2、参考书有一本足矣。我想说,不要迷信参考书,参考书不要很多,有一本主要的就足够了。我发现了一个很奇怪的现象,现在市场上很多参考书卖得很好,都挂着某某名校名师的牌子,鼓吹的有多么多么好,结果,不少同学在眼花缭乱中拿了一本又一本。其实,我们在学习、复习中时间很有限,可供自己支配的时间更有限,在这些有限的时间,朝三暮四,一会儿看这一本参考书,一会儿看那一本参考书,还不如不看。把课本的知识结构知识要点烂熟于心,能够在很少的时间里把一科知识全部回顾一遍。能做到这点,要比看一些所谓“金钥匙银钥匙”的参考书要重要的多。总之,一句话,抓住最根本,最主要的,不要盲目的看参考书,特别是不要看很多参考书。
3、遇到疑难该怎么办呢?首先是要尽可能的通过自己的努力去解决,如果不能解决,也要弄明白自己不会的原因是什么,问题出在那里。我经常说的一句话是:决不奢望不遇到难题,但是,也决不允许自己不明白难题难在那里。自己不能解决的时候,就可以采取讨论以及向老师请教等方式,最终解决那些难题;解决绝不是你原来不会做的通过别人的帮助会作了,而是,在会作之后,回过头来比较一下原来不会的原因是什么,一定要把这个原因找出来,否则,就失去了一次提高的机会,作题也失去了意义。
4、怎么跳出题海?我想大家一定非常关心这个题目,因为物理难懂、化学难记、数学有做不完的题。但题目是数学的心脏,不做题是万万不行的。而摆在我们面前的题目太多了,好像永远也做不完。试试下面的方法,第一,在完成作业的基础上分析一下每到题目都是怎么考察的,考察了什么知识点,这个知识点的考察还有没有其他的方式。第二,继续做题时,完全不必要每道题目都详细的解出来了,只要看过之后,可以归入我们上面分析过的题型,知道解题思路就可以跳过去了!这样,对每个知识点,都能把握其考试方式,这才是真正的提高。
总之,在学习中要有埋头苦干的精神,但决不能只是一味的埋头苦干,要能善于钻研,善于归纳,这样,才能取得事半功倍的效果。

八、如何学好数学知乎

【篇一:如何学好高中数学知乎】
作为一名一线重点高中的数学老师,带重点班,觉得,学数学天赋固然非常重要,但是勤能补拙(120可得,除非江苏卷遇到葛大师出题),也有些方式可以弥补这些缺憾!
2.利用图形记忆,布赞的思维导图(高中数学做思维导图其实有点乱)告诉我们,图形很容易帮助记忆(提升100倍以上的记忆能力),所以我上课从来都说看图说话,用图形帮助记忆公式,帮助解题。
3.课后做好订正,错题本,哲学上说,人不可能两次踏进同一条河流,但是做错的题目,往往学习偏差的学生还是会做错,防止做错的再做错,可以极大的提升成绩。
4.理解题目,为何要怎么做题,波利亚《如何解题》,学生是没空研究,但适当的问题串引领,比如问自己,为什么这一步要这么么做,为什么要化简,为什么要…这种思维习惯都可以提升你的解题能力,我上课也都是这样的问题串讲解。
5.适当的练习,题海战术我不推荐,但又最行之有效,但是是要在1.2.3.4.都做好的基础上,去练习,否则就是不求甚解。
,全部免费,每天推送题目,还是视频讲解,你一定会进步的!
————————华丽的分割线!
1-1如何听课——紧跟思路,大脑运转。
1-2如何听课——善于总结,化繁为简。
不知道老师上课做不做总结,他不做,就你做。我和学生说我不一定很聪明(谦虚一下),但是总结的能力是一流的,从个性中发现共性,能让你从学会一道题,变成学会一类题。好的老师,一般会对一类题型进行归纳总结,强调要点,所以这是你听课更要认真听的,而不是,这题会做了,我就做其他事情去了。我和学生说,归纳总结才是一节课的精华!这样才能把45分钟的知识/题目转化为非常小的记忆单位,这才是高效的学习。
1-3如何做笔记——适当留白,有的放矢。
很多人抱怨,来不及做笔记,或者说记了不会看!很正常,记得满满当当,都是一种颜色的,颜值那么低,谁会愿意看?笔记从来不是简单的复制粘贴老师的黑板内容,而是去其糟粕,取其精华的加工成果!①一些无所谓的计算可以省略(省下时间),下课回去后慢慢补齐,练习计算很重要。②一些老师说的解释说明,没有抄在黑板上的,但你觉得有用,重要的,记下。不同颜色的笔或者荧光笔。③重要的口诀,归纳总结,步骤,记下。不同颜色的笔或者荧光笔。④易错点,关键字,不同颜色的笔或者荧光笔。这样的笔记,由点及面,要简单复习——荧光笔,详细复习,全看。⑤留白,水墨画的一种作画方式,适当的留出笔记中的一些地方,以后看到学习的时候精加工,和我以后说的错题本进行超链接!
————————下划线,第二次更新;下次更新666赞吧,要忙着做流氓方法解高考题的视频,估计没时间;
2-1用图形的方式帮助记忆。布赞说的思维导图可行么?仁者见仁,智者见智,有准备做一张高中数学知识的思维导图,有思维导图高手可以与我联系。但是思维导图的记忆,是一个节点不断向外延伸,延伸到另外一个节点,数学的知识有千变万化的联系,发散出去太乱了,一般也收不回来。愚见认为,现阶段(我想了一年),可能不太适合导图,如果非要做成导图,可以按照第一轮复习用书作为参考,试试看,做好的,我很愿意与之沟通交流。——以上废话。
2-3利用图形帮助解决问题,一些同学十分讨厌动手作图(每天看他们都懒得画图,这样2-2中知识点的记忆完全就不深刻,还有可能记错),做题的时候,也很难有直观的感觉。数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休——华罗庚,数形结合是高中解题的两条大腿之一(下一期介绍另外一条大腿),很多题目配合上图形就豁然开朗。比如线性规划里面的各种问题的变式。距离,斜率,截距等等,这都是用形来解决数的问题。以后有机会做一期思想方法的数形结合的视频给大家看。
不过我怀疑我的方法是否适合理科生诶
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1.我对自己的要求:选择题不择手段,大题不假思索
即:选择题要灵活,方法要巧,能排除就排除,能用特殊值就用特殊值。大题要熟练,看到题目马上有思路。这个一是要求基础知识、基本方法的熟练,二是要求做大量的题并且善于总结反思。
总结反思是非常重要的。对于选择题来说,不择手段做出来的题,要在考后用通法彻底弄懂。解答题我还是喜欢把相同、相似类型的题放在一起,通过对比可以发现好多秘密。基础一定要扎实。
这个只要你听老师的话就一定没问题。填学案别眼高手低,基础知识梳理一定要耐心认真的写;上课别因为简单就不听,里面包含了很多易错点,别高估自己以为自己不会错;同时老师讲解的基本方法也是做解答题的基石,所以数学课也要做笔记,而且我的数学笔记是我最好的笔记之一;公式定理一定要背过,到了二轮、三轮复习的时候,有很多同学发现自己的数学瓶颈竟然在公式上,很可笑也很可惜,所以跑操之前的、熄灯之前的三五分钟,背背公式吧。限时练习。
因为我数学考试常常前松后紧答不完题,所以我给自己定的规矩是:平日练习当考试,限时、规范;考试当练习赶作业,稳准狠。研究答案,规范作答,得全步骤分。
会的题要通过规范作答必须得满分,不会的题也要通过写出基本步骤尽量多得几分。
2.考试时,统筹安排,顾全大局,勇于舍弃。
要做好时间安排。对我来说:选择填空30~45min,大题基本上10min一个题,如果某个大题三分钟没思路我就会跳过——但不是放弃。做完我拿手的导数题我会再回头啃它,而且几乎每次一回头我就有思路了。如果一次回头不行就多回几次。
做题时要精神高度集中,保证思路始终如一的清晰连贯。
对我来说,稍有一点恍惚,就会把7+3算成8,这也让我要求自己,稍一觉得恍惚就要回头检查。
高三下学期,一轮复习结束之后,我的纠错本已经覆盖了数学全部章节的大多数题型,也就是说对一般的题来说,“会”已经不成问题,但是在套题拉练中总有失误失分。这时候再一一纠错有点不值得,我就有选择的纠错,如果是新题型就整理在纠错本上。然后卷子都留着,粘成一摞,失误的错处狠狠地标出来,每次套题拉练之前都看(因为每次拉练都必须当高考),考完反思时也会看,要结合以前的错误进行进一步反思。到一模考试的时候,整张卷子那个地方容易出错我都了然于胸。一模考数学那天,从迷迷糊糊的午休到下午发数学卷子,我把易错点在脑子里过了不下五遍,考试时到了那个地方就特别注意。需要提醒的是,不要只盯着曾经错过的地方,因为错误是防不胜防的,这个参见第6条。
6月7号考完数学,我觉得考砸了,哭了一场,但从高考成绩看,我的数学居然是发挥的比较好的,所以在这里我想总结一下这场考试。
首先我高中三年一直非常重视数学,作为一名文科生,我一直非常热爱数学。高三的时候,我对数学的期望值最高,花在数学上的时间也最多,基础牢,练习也落实的很扎实。其次,高考时,平时总结的答题策略,在考数学时是应用的最好的。选择题30分钟,最后一题我不会,我果断放弃,猜了一个。不是瞎猜,我数了数前11个选择题,有3个a,3个b,3个c,2个d,最后一题我当然猜d,考后对答案,果然是。做完选择填空,刚好45分钟,其实我对自己并不太满意,因为这是我最慢的速度了,这意味着后边的大题必须10分钟一道绝不能拖拉。
开始做大题后我发现并不是那么简单,立体几何我就卡住了。好在平时拉练我立体几何必卡,一定要第二次看才攻克,所以这次我也没有慌,还以为只要先跳过等会就能把它拿下。然后是数列题,第一问并不难,但是有点绕,在考场那个紧张的环境下,我好长时间都没理清楚,到了该放弃的时间了,我的感觉告诉我,再坚持一下就好了,然后我就坚持做到最后,花了至少20分钟才搞定。这个时候我就有点慌,又回头去看那个立体几何,又纠缠了5分钟,还是没思路,嗯,更担心了。这时候脑子里什么都想了,首先想北大去不了了,然后想考砸了是不是要复读啊,还想其他人应该做的很顺利吧……但是没办法,必须逼自己别乱想,继续做。导数题好像比较变态,跟平时做的不太一样,所以虽然这是我的强项,但我还是做的不顺利,到最后得数算不出来,我就扔下了。因为我想剩下的时间解析几何至少要做一问,立体几何也必须拿下。又回头看立体几何,还是没有确定的思路,就是说有想法,但不敢贸然下笔,因为那个定理平时很少用。只好继续做解析几何。第一问很顺利,这时候还有15分钟。于是想立体几何绝对不能空着,那样我数学就完了,然后我就很勇敢的回头把那个不成熟的想法写上了,感觉整个立体几何都像是编上的。还有时间,我把解析几何第二问做了一半。收卷的时候我想,太遗憾了,如果有时间,也许第二问我就能做出来了。整个考试过程比较失败的地方就是胡思乱想。一模考试的时候我心态特好,我告诉自己“你一定要相信你的数学就是最好的,不要管别人翻卷子比你翻得快,他们翻卷子是因为不会做”,整个考试过程我都很沉着,很稳。高考的时候,忘记这一茬了,有点自乱阵脚。
给我增分的地方有:1.选择题最后一题勇于舍弃,并且有技巧的猜答案;2.蒙上的那个立体几何,应该是大部分对了,我觉得这得益于我平时对立体几何的“感觉”;3.导数题虽然没有做出结果,但思路是正确的,扣分不多;4.解析几何写上的步骤都是正确的,都得分了。所以基本上我不会的都没写,也就是没浪费时间,写上的都得分了,没做无用功。
【篇三:如何学好高中数学知乎】
高中数学学得好的(稳定在130+)只有两类学生:
第一类,智商比较高(并不需要非常高),属于平时学校的练习鲜有题目能拦得住他的,考场上压轴题也能靠智商正面刚出来(尽管有时候并不能刚出来)。
第二类,总结做得比较到位,或者学校老师(主要是大家普遍意见大的某几所超级中学)注重帮助学生总结解题套路,在考场上哪怕是压轴题,能解决大部分全国卷当中的压轴题(浙江的数学另说)。
同时,高中数学学不好(上不了130)的大概有以下几种情况:
第一,基础薄弱/知识缺漏,实际上这类学生往往伴随有做题速度慢、考试时间不够、选择题最后几题/大题有些题目做不出来。
第二,无谓失分多,这类学生或许数学底子不错,或者自恃数学底子不错,但是总是丢小分,成绩波动大。如果题目难度上升,做题速度一上去,问题更明显。
第三,压轴题攻不上去,要么是智商不够高,要么是基本没什么针对压轴题的总结。总之,在考场有限的时间内做不出压轴题,如果压轴题花时间过多,前面的丢分也就上去。
关于无谓失分的问题,请出门右转,参照。关于基础薄弱的问题,说真的,哪块有问题补哪块,没有特别多的捷径(高考当中有什么算是shortcut的吗?)
这篇文章,我只想谈一个问题:数学怎么提高到130分以上?
以下是正文:
一个很有趣的现象是,很多数学自恃学得不错的学生,往往很容易陷入一个怪圈——难题都会,分数却不是很高。这些学生往往解决了那些“难题”,却常在一些他们认为的“简单题”上面丢了大量的分数,最终成绩也不是特别好看。
很多人一提起提高数学,就想到刷题、解决难题,却没有思考以下这些问题。
到底什么是难题?
难题、易丢分题目,背后到底考查着什么?
这些考察点对应你什么样的能力?
本文旨在从分析什么是难题,重构你对难题的理解,探寻高考数学考查的基本能力,为那些仍然挣扎在高考数学中的学弟学妹们,指点迷津。
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九、数学《圆的标准方程》精品公开课教案


圆的标准方程

关于圆的小知识

平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径.定点是圆心,定长是半径.圆心确定了圆的位置,半径确定了圆的大小.我们知道,在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线.并且在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?这就是我们这节课所要学习的内容.

一、【学习目标】

1、理解圆的标准方程的特点以及求出过程;

2、理解平面内点和圆的位置关系的判定;

3、会根据条件求圆的标准方程和点圆位置关系的判定.

【教学效果】:教学目标的给出,有利于学生把握课堂时间分配.

二、【自学内容和要求及自学过程】

1、阅读教材118页内容,回答问题(圆的标准方程)

1已知在平面直角坐标系中,圆心A的坐标用(a,b)来表示,半径用r来表示,则我们如何写出圆的方程?

结论:1确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是P={MMA=r},由两点间的距离公式点M适合的条件可以表示为化简得:

(1)

若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标适合方程(1);反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(1),这说明点M与圆心的距离是r,即点M在圆心为A的圆上.所以我们把方程(1)称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,称为圆的标准方程.

思考:圆的方程具有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?

结论:这是二元二次方程,括号内变数x,y的系数都是1,展开后没有xy项.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为

练习一:教材第119-120页例1、2、3;教材第120页练习1、4.

【教学效果】:渗透求轨迹方程的步骤.

2、坐标平面内的点与圆的位置关系(点圆关系)

2坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?

结论:2设点,则我们可以根据圆的标准方程得到坐标平面内的点和园的关系如下:点在圆外;点在圆上点在圆内.

练习二:教材第121页练习2、3

【教学效果】:要理解点圆关系,记住结论.

3、附加内容(圆的方程的特殊形式)

3已知圆的一条直径的端点分别是,求证此圆的方程为:.

结论:3提示:根据中点坐标公式求圆心,根据两点间距离公式求半径,然后代入圆的标准方程就可以得到结论.这个公式要求学生熟悉,不要求记忆.

【教学效果】:明确推导过程,记住结论.

三、【作业】

1、必做题:习题4.1第A组2、3、4;

2、选做题:已知圆N的方程为标准方程,并且如下所示:

.1若点M(6,9)在圆上,求半径a;2若点P(3,3)与点Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的范围.

四、【小结】

本节课主要学习了圆的标准方程、点圆关系、已知直径的端点坐标求圆的方程等内容.这节课学习完以后希望同学们能完成根据条件求圆的标准方程,能判断点与圆的位置关系的学习目标.

五、【教学反思】

这部分内容比较多,课时容量比较大,老师课前要做好准备,并能很好的引导学生进行预习.




十、数学解题方法及步骤

一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成完全平方)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧,从而完成配方。有时也将其称为凑配法。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:
①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程;
③利用定义本身的属性列方程;
④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。
四、定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定对任何自然数(或nn且nN)结论都正确。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时,关键是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
六、参数法
参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问题。
七、反证法
与前面所讲的方法不同,反证法是属于间接证明法一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的矛盾律两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说A或者非A,这就是逻辑思维中的排中律。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据矛盾律,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以否定的结论必为假。再根据排中律,结论与否定的结论这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是否定之否定。应用反证法证明的主要三步是:否定结论推导出矛盾结论成立。实施的具体步骤是:
第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时,一定要用到反设进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫归谬法如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫穷举法。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:反证法是数学家最精当的武器之一。一般来讲,反证法常用来证明的题型有:命题的结论以否定形式、至少或至多、唯一、无限形式出现的命题;或者否定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。

数学解题方法及步骤

十一、下学期数学知识点总结

  第一章集合与函数概念

  一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性.第一章集合与函数概念

  一、集合有关概念

  1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

  2、集合的中元素的三个特性:

  1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性

  说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

  (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

  (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

  (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

  3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

  1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员}B={12345}

  2.集合的表示方法:列举法与描述法。

  注意啊:常用数集及其记法:

  非负整数集(即自然数集)记作:N

  正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

  关于“属于”的概念

  集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A

  列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

  描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

  ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ②数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?Rx-32}或{xx-32}

  4、集合的分类:

  1.有限集含有有限个元素的集合

  2.无限集含有无限个元素的集合

  3.空集不含任何元素的集合例:{xx2=-5}

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系子集

  注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA

  2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设A={xx2-1=0}B={-11}“元素相同”

  结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

  ①任何一个集合是它本身的子集。A?A

  ②真子集:如果A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

  ③如果A?BB?C那么A?C

  ④如果A?B同时B?A那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  三、集合的运算

  1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.

  记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={xx∈A,且x∈B}.

  2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做AB的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={xx∈A,或x∈B}.

  3、交集与并集的性质:A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩A,A∪A=A

  A∪φ=AA∪B=B∪A.

  4、全集与补集

  (1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

  记作:CSA即CSA={x?x?S且x?A}

  (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

  (3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

  二、函数的有关概念

  1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域.

  三角函数公式

  两角和公式

  sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

  cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

  tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

  ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

  倍角公式

  tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

  cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

  半角公式

  sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

  cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

  tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

  ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

  和差化积

  2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

  2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

  sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

  ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

  某些数列前n项和

  1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

  2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

  13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/412+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

  正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R表示三角形的外接圆半径

  余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:角B是边a和边c的夹角

  弧长公式l=ara是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2lr

  乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

  三角不等式a+b≤a+ba-b≤a+ba≤b=-b≤a≤b

  a-b≥a-b-a≤a≤a

  一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

  根与系数的关系X1+X2=-b/aX1X2=c/a注:韦达定理

  判别式

  b2-4ac=0注:方程有两个相等的实根

  b2-4ac0注:方程有两个不等的实根

  b2-4ac0注:方程没有实根,有共轭复数根

  降幂公式

  (sin^2)x=1-cos2x/2

  (cos^2)x=i=cos2x/2

  万能公式

  令tan(a/2)=t

  sina=2t/(1+t^2)

  cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

  tana=2t/(1-t^2)

  §1.2.1、函数的概念

  1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有惟一确定的数和它对应,那么就称为集合A到集合B的一个函数,记作:.

  2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.

  §1.2.2、函数的表示法

  1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.

  §1.3.1、单调性与最大(小)值

  1、注意函数单调性证明的一般格式:

  §1.3.2、奇偶性

  1、一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.

  2、一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

十二、数学向量知识点总结

  考点一:向量的概念、向量的基本定理

  【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。

  注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小。

  考点二:向量的运算

  【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

  【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。

  考点三:定比分点

  【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用,求点分有向线段所成比时,可借助图形来帮助理解。

  【命题规律】重点考查定义和公式,主要以选择题或填空题型出现,难度一般。由于向量应用的广泛性,经常也会与三角函数,解析几何一并考查,若出现在解答题中,难度以中档题为主,偶尔也以难度略高的题目。

  考点四:向量与三角函数的综合问题

  【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。

  【命题规律】命题以三角函数作为坐标,以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合,也有向量与三角函数图象平移结合的问题,属中档偏易题。

  考点五:平面向量与函数问题的交汇

  【内容解读】平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围。

  【命题规律】命题多以解答题为主,属中档题。

  考点六:平面向量在平面几何中的应用

  【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标,这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.

  【命题规律】命题多以解答题为主,属中等偏难的试题。

  平面向量

  戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算:

  (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

  向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。

  戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

  两个向量共线的充要条件:

  (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= .

  (2) 若=,b=则‖b .

  平面向量基本定理:

  若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,使得= e1+ e2

十三、高二数学平面向量知识点总结

  1.有向线段的定义

  线段的端点A为始点,端点B为终点,这时线段AB具有射线AB的方向.像这样,具有方向的线段叫做有向线段.记作:.

  2.有向线段的三要素:有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.

  3.向量的定义:(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素:大小和方向.

  (2)向量的表示方法:①用两个大写的英文字母及前头表示,有向线段来表示向量时,也称其为向量.书写时,则用带箭头的小写字母,来表示.

  4.向量的长度(模):如果向量=,那么有向线段的长度表示向量的大小,叫做向量的长度(或模),记作

  5.相等向量:如果两个向量和的方向相同且长度相等,则称和相等,记作:=.

  6.相反向量:与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量,记作:-.

  7.向量平行(共线):如果两个向量方向相同或相反,则称这两个向量平行,向量平行也称向量共线.向量平行于向量,记作//.规定: //.

  8.零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作:.零向量的方向是不确定的,是任意的由于零向量方向的特殊性,解答问题时,一定要看清题目中是零向量还是非零向量.

  9.单位向量:长度等于1的向量叫做单位向量.

  10.向量的加法运算:

  (1)向量加法的三角形法则

  11.向量的减法运算

  12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系

  对于任意两个向量,都有

  13.数乘向量的定义:

  实数和向量的乘积是一个向量,这种运算叫做数乘向量,记作.

  向量的长度与方向规定为:(1)(2)当0时,与方向相同;当0时,与方向相反.

  (3)当=0时,当=时,=.

  14.数乘向量的运算律:(1))= (结合律)

  (2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

  15.平行向量基本定理

  如果向量,则//的充分必要条件是,存在唯一的实数,使得=.

  如果与不共线,若,则

  16.非零向量的单位向量:非零向量的单位向量是指与同向的单位向量,通常记作.

  =,即==(,)

  17.线段中点的向量表达式

  点M是线段AB的中点,O是平面内任意一点,则=(+).

  18.平面向量的直角坐标运算:如果=(a1,a2),=(b1,b2),则

  +=(a1+b1,a2+b2);-=(a1-b1,a2-b2);=(a1,a2).

  19.利用两点表示向量:如果A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

  20.两向量相等和平行的条件:若=(a1,a2),=(b1,b2) ,则

  =a1=b1且a2=b2.

  //a1b2-a2b1=0.特别地,如果b10,b20,则// =.

  21.向量的长度公式:若=(a1,a2),则

  22.平面上两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则

  23.中点公式

  若点A(x1,y1),点B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x=,y= .

  24.重心公式

  在△ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),A(x3,y3),△ABC的重心为G(x,y),则

  x=,y=

  25.(1)两个向量夹角的取值范围是[0,p],即0,p.

  当=0时,与同向;当=p时,与反向

  当= 时,与垂直,记作.

  (3)向量的内积定义:=

  其中,叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.

  (4)内积的几何意义

  与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量,或的模与在 方向上的正射影数量的乘积

  当0,90时,0;=90时,

  90时,0.

  26.向量内积的运算律:

  (1)交换率

  (2)数乘结合律

  (3)分配律

  (4)不满足组合律

  27.向量内积满足乘法公式

  29.向量内积的应用:

十四、高中数学导数知识点总结

  一)导数第一定义

  设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时,相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义

  (二)导数第二定义

  设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时,相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即 导数第二定义

  (三)导函数与导数

  如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导,就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数,记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

  (四)单调性及其应用

  1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤

  (1)求f(x)

  (2)确定f(x)在(a,b)内符号 (3)若f(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数;若f(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数

  2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤

  (2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间

  学习了导数基础知识点,接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。

十五、数学知识点集合与函数概念

  集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念,如集合论:集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论。康托(cantor,g.f.p,1845年—1918年,德国数学家先驱,是集合论的创始者,目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

  集合,在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念,可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合

  集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起,使之成为一个整体(或称为单体),这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。

  元素与集合的关系

  元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

  集合与集合之间的关系

  某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有传递性。『说明一下:如果集合a的所有元素同时都是集合b的元素,则a称作是b的子集,写作a?b。若a是b的子集,且a不等于b,则a称作是b的真子集,一般写作a?b。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右图),不要混淆,考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

  集合的几种运算法则

  并集:以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并(集),记作a∪b(或b∪a),读作“a并b”(或“b并a”),即a∪b={xx∈a,或x∈b}交集:以属于a且属于b的元差集表示

  素为元素的集合称为a与b的交(集),记作a∩b(或b∩a),读作“a交b”(或“b交a”),即a∩b={xx∈a,且x∈b}例如,全集u={1,2,3,4,5}a={1,3,5}b={1,2,5}。那么因为a和b中都有1,5,所以a∩b={1,5}。再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说a∪b={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是a∩b。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减集合

  1再相乘。48个。对称差集:设a,b为集合,a与b的对称差集a?b定义为:a?b=(a-b)∪(b-a)例如:a={a,b,c},b={b,d},则a?b={a,c,d}对称差运算的另一种定义是:a?b=(a∪b)-(a∩b)无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集:令n是正整数的全体,且n_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合a与n_n一一对应,那么a叫做有限集合。差:以属于a而不属于b的元素为元素的集合称为a与b的差(集)。记作:ab={x│x∈a,x不属于b}。注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”.补集:是从差集中引出的概念,指属于全集u不属于集合a的元素组成的集合称为集合a的补集,记作cua,即cua={xx∈u,且x不属于a}空集也被认为是有限集合。例如,全集u={1,2,3,4,5}而a={1,2,5}那么全集有而a中没有的3,4就是cua,是a的补集。cua={3,4}。在信息技术当中,常常把cua写成~a。共2页,当前第1页12

  集合元素的性质

  1.确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性:集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。4.无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。5.纯粹性:所谓集合的纯粹性,用个例子来表示。集合a={xx集合有以下性质

  若a包含于b,则a∩b=a,a∪b=b

  集合的表示方法

  集合常用大写拉丁字母来表示,如:a,b,c…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:a={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

  常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{xp}(x为该集合的元素的一般形式,p为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x0

  4.自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作n;不包括0的自然数集合,记作n(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作z+;负整数集内也排除0的集,称负整数集,记作z-(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作q。q={p/qp∈z,q∈n,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作q+q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作r(正实数集合记作r+;负实数记作r-)(6)复数集合计作c集合的运算:集合交换律a∩b=b∩aa∪b=b∪a集合结合律(a∩b)∩c=a∩(b∩c)(a∪b)∪c=a∪(b∪c)集合分配律a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c)集合德.摩根律集合

  cu(a∩b)=cua∪cubcu(a∪b)=cua∩cub集合“容斥原理”在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合a的元素个数记为card(a)。例如a={a,b,c},则card(a)=3card(a∪b)=card(a)+card(b)-card(a∩b)card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(b∩c)-card(c∩a)+card(a∩b∩c)1885年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律a∪(a∩b)=aa∩(a∪b)=a集合求补律a∪cua=ua∩cua=φ设a为集合,把a的全部子集构成的集合叫做a的幂集德摩根律a-(buc)=(a-b)∩(a-c)a-(b∩c)=(a-b)u(a-c)~(buc)=~b∩~c~(b∩c)=~bu~c~φ=e~e=φ特殊集合的表示复数集c实数集r正实数集r+负实数集r-整数集z正整数集z+负整数集z-有理数集q正有理数集q+负有理数集q-不含0的有理数集q

数学知识点集合与函数概念

十六、高中文科数学知识点总结

  高中数学 必修1知识点

  第一章  集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示

  (1)集合的概念

  集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

  N表示自然数集,N

  或N表示正整数集,Z

  表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.

  (3)集合与元素间的关系

  对象a与集合M的关系是aM,或者aM,两者必居其一. (4)集合的表示法

  ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.

  ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类

  ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.

  【1.1.2】集合间的基本关系

  (6)子集、真子集、集合相等

  (7)已知集合真子集.

  A有n(n1)个元素,则它有2n个子集,它有2n1个真子集,它有2n1个非空子集,它有2n2非空

  【1.1.3】集合的基本运算

  (8)交集、并集、补集

  【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

  (1)含绝对值的不等式的解法

  (2)一元二次不等式的解法

  〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

  (1)函数的概念

  ①设的数A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定

  f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f

  )叫做集合

  A到B的一个函数,

  记作

  f:AB.

  ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

  ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法

  ①设a,b是两个实数,且a

  b,满足axb的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b];满足axb的实数

  x的集合叫做开区间,记做(a,b);满足axb,或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做

  [a,b),(a,b];满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b).注意:对于集合{x

  xb}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须

  ab.

  (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:

  ①②③

  f(x)是整式时,定义域是全体实数.

  f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

  f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

  ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤

  ytanx中,xk

  2

  (kZ).

  ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若

  f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.

  ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知等式a

  f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不

  g(x)b解出.

  ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值

  求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:

  ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.

  ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数

  yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,则在

  a(y)0时,由于x,y为实数,故必须有b2(y)4a(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值.

  ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.

  ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问

  题.

  ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.

  【1.2.2】函数的表示法

  (5)函数的表示方法

  表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.

  解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图

  象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念

  ①设

  A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f

  ,对于集合

  A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它

  )叫做集合

  对应,那么这样的对应(包括集合

  A,B以及A到B的对应法则fA到B的映射,记作f:AB.

  ②给定一个集合

  A到集合B的映射,且aA,bB.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的

  象,元素a叫做元素b的原象.

  〖1.3〗函数的基本性质

  【1.3.1】单调性与最大(小)值

  (1)函数的单调性

  ①定义及判定方法

  ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

  yf[g(x)],令ug(x),若yf(u)为增,ug(x)为增,则yf[g(x)]为增;若

  yf(u)为减,ug(x)为减,则yf[g(x)]为增;若yf(u)为增,ug(x)为减,则yf[g(x)]为

  减;若

  yf(u)为减,ug(x)为增,则yf[g(x)]为减.

  a

  f(x)x(a0)的图象与性质

  x

  y

  (2)打“√”函数

  o x

  f(x )分别在上为增函数,分别在 上为减函数.

  (3)最大(小)值定义①一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有 是函数

  f(x)M

  ;

  (2)存在x0I,使得

  ②一般地,设函数

  f(x0)M.那么,我们称Mf(x) 的最大值,记作f(x)M.

  (2)f(x)

  yf(x)的定义域为I,如果存在实数足:(1)对于任意的xI,都有

  存在x0I,使得f(x0)那么,我们称函数f(x)的最小值,记作f(x)

  【1.3.2】奇偶性

  (4)函数的奇偶性

  ①定义及判定方法

十七、数学参数方程知识点总结

  参数方程定义

  一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)

  并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意:参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义和几何意义的变数,也可以是没有实际意义的变数。

  参数方程

  圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数

  椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数

  双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数

  抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数

  直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数

  参数方程的应用

  一般在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数:x=f(t),y=g(t), 并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数。

  圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数

  椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数

  双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

  抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

  直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.

十八、高中必修三数学知识点总结

  第一章 算法初步

  1.1.1

  算法的概念

  算法的特点:

  (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的

  (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.

  (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.

  (5)普遍性:很多具体问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2

  程序框图

  (一)程序构图概念:程序框图又称流程图,是一种用规定图形、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 (二)构成程序框的图形符号及其作用

  学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:

  1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

  (三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。

  1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

  顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框和B 框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执 行B框所指定的操作。 2、条件结构:

  条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

  条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

  3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构可细分为两类:

  (1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。

  (2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。

  循

  环

  结

  注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。 1.2.1

  输入、输出语句和赋值语句

  3、赋值语句

  (1)赋值语句的一般格式

  (2)赋值语句的作用是将

  表达式所代表的值赋给

  变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以

  是一个数据、常量或算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

  分析:在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN后面的语句1;若条件不符合,则执行ELSE后面的语句2 1.3.1辗转相除法与更相减损术

  1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1):用较大的数以较小的数n得到一个商≠0,则用除数n除以余数则用除数

  RRS0和一个余数R0;

  (2):若0=0,则n为的最大公约数;若0

  R0得到一个商S1和一个余数R1;RRR(3):若1=0,则1为的最大公约数;若1≠0,

  R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2;?? 依次计算直至Rn=0,此时所得到的Rn?1即为所

  求的最大公约数。 2、更相减损术

  我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。

  翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 分析:(略)

  3、辗转相除法与更相减损术的区别:

  (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

  (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到

  1.3.2秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念:

  f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

  f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

  =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

  求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1

  然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

  这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

  第二章 统计

  2.1.1简单随机抽样

  1.总体和样本

  在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.

  2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随

  机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法:

  (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。

  在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。

  4.抽签法:

  (1)给调查对象群体中的每一个对象编号;(2)准备抽签的工具,实施抽签

  (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查

  例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

  5.随机数表法:例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 2.1.2系统抽样

  1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):

  把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

  K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)

  前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。

  2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3分层抽样

  1.分层抽样(类型抽样):

  先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。

  两种方法:

  (1).先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

  (2).先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。分层标准:

  (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

  (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题:

  (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

  (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

十九、高中必修二数学知识点总结

  1定理总结

  公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。

  推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

  推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。

  推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

  公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

  等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。

  2空间两直线的位置关系

  空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面

  1、按是否共面可分为两类:

  (1)共面:平行、相交

  (2)异面:

  异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

  异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。

  两异面直线所成的角:范围为(0°,90°)esp.空间向量法

  两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

  2、若从有无公共点的角度看可分为两类:

  (1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面

  直线和平面的位置关系:

  直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行

  ①直线在平面内——有无数个公共点

  ②直线和平面相交——有且只有一个公共点

  直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

  空间向量法(找平面的法向量)

  规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角

  由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]

  最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

  三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直

  直线和平面垂直

  直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。

  直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

  直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。③直线和平面平行——没有公共点

  直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。

  直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

  直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

  3两个平面的位置关系

  (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点

  (2)两个平面的位置关系:

  两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

  a、平行

  两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

  两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。b、相交

  二面角

  (1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。

  (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°,180°]

  (3)二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。

  (4)二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。

  (5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

  (6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。

  两平面垂直

  两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为⊥

  两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直

  两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平

  二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)

  4多面体

  1、棱柱

  棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。

  棱柱的性质

  (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形

  (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

  (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形

  2、棱锥

  棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥

  棱锥的性质:

  (1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

  (2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

  3、正棱锥

  正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。

  正棱锥的性质:

  (1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。

  (3)多个特殊的直角三角形

  a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

  b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

二十、数学等差数列知识点总结

  等差数列的基本性质

  ⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.

  ⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.

  ⑶若{an}{bn}为等差数列,则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列.

  ⑷对任何 ,在等差数列中有:an = a+ (n-(∈N+),特别地,当 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

  ⑸、一般地,当+q(,p,q∈N+)时,a+aq .

  ⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差).

  (7)下表成等差数列且公差为项ak.ak++2(k,+)组成公差为的等差数列。

  ⑻在等差数列中,从第二项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

  ⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.

数学等差数列知识点总结
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