高中数学教材目录，上海高中数学教材目录

　　教材目录

　　高中数学（必修）

　　，集合与函数，数学文化：数及其应用，不等式，极限与连续，初等函数，数列与直线，圆论：一元二次方程及应用第4-8章：集合的运算（含平面数字的运算）和数的整除问题。

　　如果还需要了解跟多关于高中数学教材目录，上海高中数学教材目录，接下来为你提供十篇精选关于高中数学教材目录，上海高中数学教材目录的知识。

一、2018版数学必修一学案(30份)人教课标版(精品教案)

2018版高中数学必修一学案(30份)人教课标版(精品教案)
§集合
集合的含义与表示
第课时集合的含义
学习目标.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).了解元素与集合间的“从属关系”(重点).记住常用数集的表示符号并会应用．
预习教材，完成下面问题：
知识点元素与集合的概念
()元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，，，…表示．
()集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母，，，…表示．
()集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
()集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)
()漂亮的花可以组成集合．()
()由方程－＝和－＝的根组成的集合中有个元素．()
()元素和元素组成的集合是不相等的．()
提示()ד漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
()×由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有个元素．
()×集合中的元素具有无序性，所以元素和元素组成的集合是同一集合．
知识点元素与集合的关系
关系概念记法读法属于如果是集合的元素，就说属于集合∈属于集合不属于如果不是集合中的元素，就说不属于集合?不属于集合
【预习评价】
思考设集合表示“～以内的所有素数”，这两个元素与集合有什么关系？如何用数学语言表示？
提示是集合中的元素，即属于集合，记作∈；不是集合中的元素，即不属于集合，记作?.
知识点常用数集及表示符号
数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号或＋
【预习评价】
()若是中的元素，但不是中的元素，则可以是()
．．－
．．
()若，且∈，则＝.
解析()由选项知是实数，但不是有理数，故选．
()大于且小于的整数为和，故＝或.
答案()()或
题型一集合的判定问题
【例】下列每组对象能否构成一个集合：
()我们班的所有高个子同学；
()不超过的非负数；
()直角坐标平面内第一象限的一些点；
()的近似值的全体．
解()“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．()任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过的非负数”，即“≤≤20”与“＞或＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过的非负数”能构成集合；()“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；()“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
规律方法判断一组对象能否构成集合的依据
【训练】给出下列说法：
①中国所有的直辖市可以构成一个集合；
②高一()班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于且小于的所有整数不能构成集合．
其中正确的有(填序号)．
解析②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．
答案①③
题型二元素与集合的关系
【例】()给出下列关系：①∈；②?；③－?；④－∈；⑤?.其中正确的个数为()
．．2．．
()集合中的元素满足∈，∈，则集合中的元素为．
解析()①②正确；③④⑤不正确．
()∵∈，∈，∴当＝时，＝∈，∴＝满足题意；当＝时，＝∈，∴＝满足题意；当＝时，＝∈，∴＝满足题意，当时，不满足题意，所以集合中的元素为.
答案()()
规律方法判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．
【训练】设集合是由不小于的数组成的集合，＝，则下列关系中正确的是()
．∈．?．＝．≠
解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵，∴?.
答案
典例迁移题型三集合中元素的特性
【例】已知集合含有两个元素－和2a－，若－是集合中的元素，试求实数的值．
解因为－是集合中的元素，
所以－＝－或－＝2a－.
若－＝－，则＝，
此时集合含有两个元素－，－，符合要求；
若－＝2a－，则＝－，
此时集合中含有两个元素－，－，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或－.
【迁移】(变换条件)若把本例中的条件“－是集合中的元素”去掉，求的取值范围．
解由集合元素的互异性知－≠2a－，解得≠－，故实数的取值范围是≠－.
【迁移】(变换条件)若本例中的集合含有两个元素和，且∈，则实数的值是什么？
解由∈可知，当＝时，此时＝，与集合元素的互异性矛盾，所以≠；当＝时，＝或(舍去)．综上可知＝.
规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
()策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．
()注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
课堂达标
．下列能构成集合的是()
．中央电视台著名节目主持人
．我市跑得快的汽车
．上海市所有的中学生
．香港的高楼
解析，，中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
答案
．由形如＝＋，∈的数组成集合，则下列表示正确的是()
．－∈．－∈．．
解析－＝×(－)＋，故选．
答案
．下列三个命题：
①集合中最小的数是；
②－?，则∈；
③∈，∈，则＋的最小值是.
其中正确命题的个数是()
．．1．．
解析根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若＝，则－?且?，显然②不正确．
答案
．已知集合中的元素满足≥，若?，则实数的取值范围是．
解析由题意不满足不等式≥，即.
答案
．若集合是由所有形如3a＋(∈，∈)的数组成，判断－＋是不是集合中的元素？
解因为－∈且∈，所以－＋是形如3a＋(∈，∈)的数，即－＋是集合中的元素．
课堂小结
．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
．元素与集合之间只有两种关系：∈，?.
．集合中元素的三个特性
()确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
()互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
()无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素，，与由元素，，组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．
面对着学习，你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚持下去，因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。生活中处处都有语文，更不缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.

二、(完整word版)数学必修1-5

(完整word版)高中数学必修1-5

§1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．

知识点一集合的概念

元素与集合的概念

(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．

集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．

(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．

元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．

知识点二元素与集合的关系

思考1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案1是整数；不是整数．没有．

梳理元素与集合的关系

关系语言描述记法读法属于a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A的元素a?Aa不属于集合A

知识点三元素的三个特性

思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？

答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．

梳理集合元素的三个特性

元素意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居其一互异性集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b无序性集合中的元素是没有顺序的

知识点四集合的分类及常用数集

1．集合的分类

集合

2．常用数集

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或NZQR

1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)

2．0∈N但0?N＋.(√)

3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(×)

类型一判断给定的对象能否构成集合

例1考察下列每组对象能否构成一个集合．

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)的近似值的全体．

解(1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()

A．数学必修1课本中所有的难题

B．小于8的所有素数

C．直角坐标平面内第一象限的一些点

D．所有小的正数

答案B

解析A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合．

类型二元素与集合的关系

命题角度1判定元素与集合的关系

例2给出下列关系：

①∈R；②?Q；③－3?N；

④－∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案B

解析是实数，①对；

不是有理数，②对；

－3＝3是自然数，③错；

－＝为无理数，④错；

0是自然数，⑤错．

故选B.

反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．

跟踪训练2用符号“∈”或“?”填空．

－________R；

－3________Q；

－1________N；

π________Z.

答案∈∈??

命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理

例3集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

答案0,1,2

解析∵x∈N，∈N，

∴0≤x≤2且x∈N.

当x＝0时，＝＝2∈N；

当x＝1时，＝＝3∈N；

当x＝2时，＝＝6∈N.

∴A中的元素有0,1,2.

反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．

跟踪训练3已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R，若1?A,2∈A，则()

A．a－4B．a≤－2

C．－4a－2D．－4a≤－2

答案D

解析∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.

又∵2∈A，∴2×2＋a0，a－4，

∴－4a≤－2.

类型三元素的三个特性的应用

例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.

(1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？

考点元素与集合的关系

题点由元素与集合的关系求参数的值

解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.

经检验，0与－1都符合要求．

∴a＝0或－1.

(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.

(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0.

若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．

若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．

故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．

反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．

跟踪训练4已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．

答案1

解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.

当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．

当a2－1＝0时，a＝±1.

a＝－1(舍)，∴a＝1.

此时，A＝{2,0}，符合题意．

1．下列给出的对象中，能组成集合的是()

A．一切很大的数

B．好心人

C．漂亮的小女孩

D．方程x2－1＝0的实数根

答案D

2．下面说法正确的是()

A．所有在N中的元素都在N＋中

B．所有不在N＋中的数都在Z中

C．所有不在Q中的实数都在R中

D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

答案C

3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案C

4．下列结论不正确的是()

A．0∈NB.?QC．0?QD．－1∈Z

答案C

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

答案B

解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.

3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．

课时对点练一、选择题

1．已知集合A由x1的数构成，则有()

A．3∈AB．1∈A

C．0∈AD．－1?A

答案C

解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则()

A．0∈AB．a＝A

C．a∈AD．a?A

考点元素与集合的关系

题点判断元素与集合的关系

答案C

解析∵A中只有一个元素a且a≠0，

∴0?A，选项A错．

∵a为元素，A为集合，故B错误．

由已知选C.

3．由实数x，－x，x，，－所组成的集合，最多含()

A．2个元素B．3个元素

C．4个元素D．5个元素

答案A

解析由于＝x，－＝－x，并且x，－x，x之中总有两个相等，所以最多含2个元素．

4．已知x，y为非零实数，代数式＋所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()

A．0?MB．1∈M

C．－2?MD．2∈M

答案D

解析①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.

5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()

A．－1?AB．－11∈A

C．3k2－1∈AD．－34?A

答案C

解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.

令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；

∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.

6．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则()

A．a∈AB．a2∈A

C.?AD．a＋1?A

考点元素与集合的关系

题点判断元素与集合的关系

答案A

解析a＝＋＋＝45，∴a∈A.

a＋1＋＋1＝5，∴a＋1∈A.

a2＝()2＋2·＋()2＝5＋25.∴a2?A.

＝＝＝－5.

∴∈A.

故选A.

二、填空题

7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．

答案1

解析易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．

8．下列所给关系正确的个数是________．

①π∈R；②D∈/Q；③0∈N＋；④－4D∈/N＋.

答案2

解析∵π是实数，是无理数，0不是正整数，－4＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.

9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.

答案6

解析∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.

10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是____________________．

答案x≠0,1,2，

解析由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.

11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____.

答案－1

解析∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，

∴0∈A.

又a≠0，∴＝0，则b＝0.

∴B＝{a，a2,0}．

∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.

由元素的互异性知，a＝－1，

∴a＋b＝－1.

三、解答题

12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．

解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－.

当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．

当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．

∴实数a的值为－.

13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；

(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

解(1)2∈A，则∈A，

即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，

即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.

(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.

(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，(a≠1，且a≠0)，且三个数的乘积为－1.

证明如下：

若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，

所以又有＝∈A且≠1，

进而有＝a∈A.

又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．

同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素，

它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.

四、探究与拓展

14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是()

A．{1,2,3}B．{1,2}

C．{0,1}D．{0,1,2}

答案B

解析由题意知：

解得

∴集合A＝{0,1,2}，

则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.

故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.

15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：

(1)3∈A；

(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.

证明(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，

得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.

(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．

①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，

所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．

②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，

三、18学年数学不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版选修4

。
。
。
。
内部文件，版权追溯
内部文件，版权追溯
内部文件，版权追溯
§3平均值不等式
[对应学生用书P12]
1．定理1
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号．
2．定理2(两个正数的平均值不等式)
对任意两个正数a，b，有≥，当且仅当a＝b时取“＝”号．
我们称为正数a与b的算术平均值，为正数a与b的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
3．定理3
对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
4．定理4(三个正数的平均值不等式)
对任意三个正数a，b，c，有≥，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
5．定理2,4的推广
一般地，对n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，数值，，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值．且有：≥.
当且仅当a1＝a2＝…＝an时，取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
1．如何利用求差法证明定理2?
提示：因为－＝≥0，
所以≥.
2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？
(1)＋≥2(a，b同号)；
(2)≤≤≤(a，b∈R＋)；
(3)ab≤2≤(a0，b0)．
提示：可以．
3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？
提示：“一正二定三相等”．
[对应学生用书P13]
用平均值不等式证明不等式
[例1](1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；
(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[思路点拨]本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．
[精解详析](1)a4＋b4≥2a2b2，
同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，
将以上三个不等式相加得：
a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，
即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当a＞0，b＞0时，a＋b≥2，
∴＋≥2＝2c.
同理：＋≥2＝2b，
＋≥2＝2a.
将以上三个不等式相加得：
2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．
若将本例(1)中a，b，c∈R，变为a，b，c∈R＋，
求证：a＋b＋c≥＋＋.
证明：∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2，
即a＋b＋c≥＋＋.
1．已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：
＋＋≥.
证明：因为abcd，
所以a－b0，b－c0，c－d0.
所以(a－d)
＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
≥3×3＝9.
即＋＋≥.
利用平均值不等式求最值
[例2](1)已知x0，y0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
(2)求函数y＝x2(1－5x)的最大值．
[思路点拨]本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x2(1－5x)改变成三项积x·x，再对它使用平均值不等式，即可获得所求．
[精解详析](1)法一：∵x0，y0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
法二：由＋＝1得(x－1)(y－9)＝9(定值)，
可知x1，y9，
而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10
＝16.
所以当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)y＝x2＝x·x，
∵0≤x≤，∴－2x≥0.
∴y≤3＝.
当且仅当x＝x＝－2x，即x＝时，ymax＝.
利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．
2．(新课标全国卷Ⅰ)若a0，b0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于46，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
3．已知x∈R＋，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)
＝x·x·(2－2x)×
≤3＝×＝.
当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．
此时，ymax＝.
本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力．
[考题印证]
1．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()
A.B.
C．5D．6
[命题立意]
本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力．
[自主尝试]
∵x＋3y＝5xy，
∴＋＝5，
∵x0，y0，∴(3x＋4y)＝＋＋9＋4≥2＋13＝25，
∴5(3x＋4y)≥25，
∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．
∴3x＋4y的最小值是5.
[答案]C
2．(新课标卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.
证明：(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
[命题立意]
本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力．
[自主尝试]
(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤，
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立．
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即
＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
[对应学生用书P15]
一、选择题
1．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是()
A．b＜2ab＜＜a2＋b2
B．2ab＜b＜a2＋b2＜
C．2ab＜a2＋b2＜b＜
D．2ab＜a2＋b2＜＜b
解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴0＜a＜b＜1，
∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b.
故2ab＜a2＋b2＜b＜.
答案：C
2．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的()
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()
A．3B．4
C.D.
解析：∵2xy＝x·(2y)≤2，
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
又x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.
当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
答案：B
4．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为()
A．(－∞，－9]B．(－9,9]
C．(－∞，9]D．[9，＋∞)
解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.
又x∈，∴t∈(0,1)．
不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，
而y＝(1－t)
＝17－≤17－2＝9，
当＝16t，即t＝时取等号，
因此原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：D
二、填空题
5．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．
解析：原式＝x2＋＋y2＋＋＋.
∵x＞0，y＞0，
∴原式≥2·＋2·＋2＝4，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
答案：4
6．已知a，b∈R＋，则≥________.
解析：
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋6＝9.
答案：9
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．
解析：∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴a0.∴c－＝0.∴c＝.
∴＋＝a2＋a＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
答案：4
8．x，y0，x＋y＝1，则的最小值为________．
解析：＝xy＋＋＋，
因为x，y0，且x＋y＝1?xy≤.(当且仅当x＝y＝时取等号)
以xy为整体，xy＋在(0，]上单调递减，
故xy＝，min＝，当且仅当x＝y＝时取得，
对＋≥2＝2，当且仅当x＝y＝时取得，
故的最小值为.
答案：
三、解答题
9．设a，b，x，y∈R，且有a2＋b2＝3，x2＋y2＝6，求ax＋by的最大值．
解：∵a2y2＋b2x2≥2aybx，
∴(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，
当且仅当ay＝bx时取等号．
∴ax＋by≤＝3，
当且仅当ax＝by且a2＋b2＝3且x2＋y2＝6时，等号成立．
10．(江苏高考)已知x0，y0，
证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
解：因为x0，y0，
所以1＋x＋y2≥30，
1＋x2＋y≥30，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
11．x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解：∵x＋y0，a0，b0且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2.
当且仅当＝时取等号，
此时(x＋y)min＝(＋)2＝18.
即a＋b＋2＝18.
又a＋b＝10，
联立
解得或

四、人教版数学《圆的标准方程》

课题：“圆的标准方程”
教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”的第一课时
一、教材分析
在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用同时，
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。
依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。
二、学情分析
此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r（尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。
三、教学目标
根据以上分析，制定以下教学目标：
知识目标：
1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程.
能力目标：
1．通过圆的标准方程的探究过程使学生对用代数方法解决几何问题的一般思维过程与模式加深认识；
2．通过例题分析和练习巩固对用待定系数法求解曲线方程的基本步骤与思维过程的理解和运用。
3.通过运用多种方法对例题进行分析使学生掌握几何性质（切线性质）对优化计算的作用，加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
情感目标：
1、通过对圆的标准方程的学习，让学生感受数学的美（形态美、和谐美）；
2、通过运用圆的知识解决实际问题的学习，让学生体会理论来源于实践。
四、教学重点．难点
教学重点：圆的标准方程模型的探索、标准方程的求解及其应用.
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程
五、教法分析
为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题其基本教学模式是：
本节课的难点是运用待定系数法求圆的标准方程，对学生而言最难的地方就在于方法的选择。所以我准备在例题的讲解让学生对几种方法进行对比，然后让他们通过自己的亲身感受来体会各中的优劣，他们根据自己的实际情况来选择适合自己的方法。
六、学法分析
基础教育课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从复习引入→情景创设→深入研究→获得新知→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。
七、教学活动设计
（一）动画引入，创设情境
【设计意图】
由我国古老而神秘的太极图引入课题
让学生感受圆优美的几何属性和我国
博大精深的古代文化，激发学生的学
习热情。
师：太极八卦图是中国古老的文化科学遗产，是中国古代劳动人民智慧文明的结晶。它不但在古代为人民建树了不可磨灭的功勋，就是在现代也做出极重大的贡献。1930年一月美国天文学家汤保发现了太阳系的第九颗行星冥王星。旋即有人提出，太阳系有没有第十颗行星呢？由于冥王星发现不久，观测数据还不精确，预测第十颗行星的努力接连遭到了失败。当时在法国勤工俭学的只有二十七岁的中国人刘子华，他发现太阳系的各星体与八卦的卦位，存在着对应关系。他依据这个关系，利用天文参数进行计算，算出了第十颗行星的平均轨道运行速度为每秒二公里，离太阳的平均距离为74亿公里，按照希腊神话命名原则，在冥王星后面的叫做“木王星”。刘子华把自己的预测，写成了题为“八卦宇宙论与现代天文”的论文，交给了法国巴黎大学，作为考取博士学位的论文。论文获得了一致的赞赏，1938年正式授予刘子华法国国家博士学位。这是中国科学家在现代运用太极八卦图，做出的震动世界的伟大贡献。
师：今天老师就将和同学一起用代数
的方法来研究圆这种优美的曲线。
【给出标题】圆的标准方程
（二）提出问题，尝试探究
问题一：已知一个圆的圆心在原点，半径为5，求这个圆的方程。
师：清同学们利用所学方法解决问题一。
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方案一：学生处理得很好，让学生来讲。
方案二：学生不能处理，则将题目变一下，再让学生处理
问题变式：一个动点到原点的距离等于5，求这个点的轨迹方程。
【设计意图】
充分调动学生的积极性和主动性，从这里也可以进一步了解学生的实际情况，对后续内容的处理会更贴切。
师：同学们是用什么方法求出圆的方程的呢？
生：用的是解析法
师：这个方法的一般步骤是：建系、设点、列式、化简四步曲。
【设计意图】回顾复习用轨迹思想求曲线方程的一般步骤。
师：若半径发生变化，如半径为6，圆心在原点则圆的方程又是怎样的？
生：x2+y2=36
师：一般的，半径为r，圆心在原点的圆的方程形式是怎样的？
生：x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2表示是特殊位置的圆，称为原点圆，那么一般地，圆心在任意一点C（a,b）点，半径为r圆的方程又是怎样的？
【设计意图】遵循循序渐进的原则，从特殊到一般，逐步将问题深入。
（三）特殊到一般，建立方程模型
问题二：设圆心为C，半径为，求圆的方程。
【学生活动】探究圆的方程。
【教师预设】
解：设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2
【设计说明】再次熟练解析法，得出一般的圆的标准方程
师：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。特别地，当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
从这种形式中可直接得到圆心和半径的信息，反之知道圆心和半径也就可以直接写出圆的标准方程，所以我们在求圆的标准方程时，可先设出圆的标准方程，再想办法求出未知系数，这种方法就是待定系数法。
（四）应用举例
例1、根据圆的方程写出圆心和半径
（1）；（2）．
圆心(2,3)，半径圆心(-2,0)，半径2
例2、写出下列各圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3；x2+y2=9
（2）圆心在，半径为；(x-3)2+(y-4)2=5
（3）经过点，圆心在点．(x-8)2+(y＋3)2=25
【练习】已知点A(-4，-5），B(6，-1)，求以AB为直径的圆的方程.(x-1)2+(y+3)2=29
【设计意图】基础练习，巩固、加深对圆的标准方程的理解。
例题3、求以为圆心，并且和直线相切的圆的标准方程.
【学生活动】探求圆的方程
【教师预设】
方法一：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
方法二：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2
由直线3x-4y-7=0与圆相切，所以联列方程组有且只有一组解
即联列方程组消去y得：25x2-146x+377-16r2=0
由△＝1462－4×25×(377-16r2)＝0，解得：r＝
因此，所求的圆的方程是
【学生可能出现问题】确定半径有困难，注意引导学生观察图象，
【设计意图】熟悉待定系数法，初步体会运用圆的几何性质（切线性质）对优化计算的作用，借此强化数形结合思想。
例题4．已知圆的方程为，设直线与圆相切于点，求直线的方程．
师：你打算怎样求过M的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师：这仍然是待定系数法的思想，关键是斜率怎样求？
【学生活动】探求切线方程
【教师预设】
方法一：设所求直线的方程为y－4＝k（x－3）即
kx－y－3k＋4＝0
由题知：圆心到切线的距离等于半径，即
，解得：
∴过点M的切线方程为：，即
方法二：∵点M（3，4）在圆x2＋y2＝25上，
∴半径OM与切线l垂直，即
∵∴
∴过点M的切线方程为：，即
【设计意图】运用圆的标准方程解决切线问题，进一步的运用圆的性质和待定系数法。
【备用】圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0
师：注意观察，在切点坐标与切线方程之间存在密切的关系，你发现了吗？
（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想太迷人了，那么可否给出证明？
生：。。。。。。【思考】
师：这个问题作为思考题留给同学们下课后独立思考解决好吗？
生：好
【设计意图】让学生从特例中观测、总结出一般化的结论，培养学生观察概括的能力，让学生体验发现规律的成功感觉，有利于激发学习热情。
【根据实际情况选用】
例题5：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）．
【设计说明】引导学生分析，共同完成解答。师生分析：建系；设圆的标准方程（待定系数）；求系数（求出圆的标准方程）；利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立坐标系。则圆心在Y轴上，设为（0，b）,半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面用待定系数法求b和r的值：
P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5,r2=14.52
圆的方程为x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取y0得：
≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
【设计意图】将所学的知识用来解决实际问题，提高知识的运用能力，让学生体会数学源于生活，又反过来为我们解决许多生活中的问题，提高他们对数学的认识和兴趣。
（五）反馈训练
1．求圆x2＋y2＝13过点（-2，3）的切线方程.-2x+3y=13
2．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。(x+1)2+(y+5)2=1
3．求圆心在直线上，且与直线切于点（2，-1）的圆的标准方程
解：设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆与直线相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于的直线：上，
，即圆心为C（1，-2），=,
∴所求圆的方程为：
【设计意图】巩固、测试本节课的目标。
【备用题】
求圆心在y＝－x上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的标准方程。
解：设圆心坐标为()，则所求圆的方程为,
∵圆心在上，∴①
又∵圆过（2，0），（0，-4）∴②
③
由①②③联立方程组，可得
∴所求圆的方程为
【设计意图】如果学生的基础很好、时间允许的情况可以使用，以备不时之需。
（六）课堂小结
本堂课我们利用解析法探索了圆的标准方程，进而用待定系数法求解圆的标准方程，在这个过程中我们得到了以下结论：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
(2)求圆的标准方程的方法：待定系数法；找出圆心和半径
(3)已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
（七）课后作业：
巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
思维拓展型作业：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？
2、方程：的曲线是什么图形？
3、已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合
即,
整理得：
所求曲线方程即为：
将其左边配方，得
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示
圆的标准方程
方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程。问题一、…………例2、…………
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2。
注意：问题二、…………例3、…………
①从标准方程中我们可以直接得出圆心坐标和半径
②要确定圆的标准方程只需要确定a，b，r三个独立变量就可以了问题三、…………例4、
小结：
①圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：练习
当圆心在原点时，圆的标准方程为：例1、…………作业
②求圆的方程的方法：待定系数法（找出圆心和半径）。
（八）板书设计
八、教学（后）反思
1、教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用（待定系数法求圆的标准方程）。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，从特殊一般引导学生探究获得圆的标准方程，让学生体会这种数学的探究方法。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，让学生自己体会各种方法的优劣，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用“引导探究”型教学模式把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．感受了数学的美、培养了兴趣、增强了信心。
2、教学预设与生成的差距与原因
本节课上下来基本上完成了我所预设的教学内容，当然有些地方未能完全实现自己的想法。如：过圆上定点的切线方程的猜想的证明，本来准备让学生自己完成的；例题的设计本来是准备围绕待定系数法这一重要的数学思想方法展开，但因为时间关系只能一带而过；最后的课堂小结本来准备让学生自己将本节课的探究过程进行及所得结论回顾等都没有得以实现。我反思整节课发现问题出在前面的几个环节的节奏把握上，具体的说：引入部分说得太多，实际上可以用多媒体演示出来让学生看，老师只提一下就行了；圆的标准方程的探索过程比较简单，不需要举这么多的例子，实际上可以将四个例子浓缩为两个：“圆心确定（0，0）、半径确定2”；“圆心任意（a，b），半径任意r”即可。我想如果前面紧凑一点，那么后面自己的很多想法就能得以体现，这堂课的效果会更理想的。
3、感受最深事件（成功与失败）的缘由与启示
在这次课堂大赛中让我学习到了许多东西，如：如何写教学设计。让我感受最深的是“向课堂40分钟要效率的关键在于课堂节奏的把握”，一节课你在课前准备得再怎么充分，如果课堂上你没有把握好节奏，那么所有的准备可能都是在做无用功。
4、对某些问题的进一步认识与总结
结合这次赛课的自身体会和听另一位老师的课的感受，我想自己对“学法指导”有了进一步的认识，我感到“学法指导”应该融入课堂的各个环节，如：课堂上该怎么过手训练；怎么与同学、老师进行交流；该怎么去探索发现新知；一堂课所学知识与方法该怎么来总结记忆等。在课堂上给予学生好的“学法指导”可以大大提高课堂效率。
5、有价值的待研究的问题
结合准备阶段的想法、上课的感受及效果、课后评委老师的指导，我认为“如何发挥例习题的作用，以使教学目标得以达成”是一个有价值的待研究的问题。关于这个问题我会在今后的教学中不断总结、提炼，我想一定会的我的教学带来很大的帮助的。
就本节课为例，因为圆的标准方程的概念不难，所以本节课的重点应该放在夯实基础上。为此目的，我们可以在原例1的前面再加一个判定方程是否为圆的标准方程，然后再用例1，例2，……。这样可以更好的让学生理解和掌握圆的标准方程的结构特征、性质特征及其运用。

五、数学

总事件， 分事件，求概率。
且或非， 原逆否，断真假。
线线面面，几何图形，三维空间。
X Y原点，函数图形，千变万化。
不等方程，相互联立，区域求解。

六、智慧课堂展示课

“智慧课堂”展示课教学设计
学校格尔木市第七中学课题生活中的圆周运动教师杨精忠学科（版本）物理（人教版必修2）章节第五章第七节学时1年级高一教材分析本节课是第五章的最后一节，是圆周运动、向心加速度、向心力的总结和综合应用，是牛顿第二定律的重要应用之一，学习它有助于了解物理学的特点和研究方法，体会物理学在生活中的应用以及对社会发展的影响，同时也为后续知识的学习（如万有引力与航天、带电粒子在磁场中的运动等）奠定基础和铺平道路，起到承上启下的作用。学情分析在学习本节内容之前，学生已学习了描述圆周运动的运动学量（如线速度、角速度、向心加速度等）和向心力；并已知道对于一般的曲线运动，尽管这时曲线各个地方的弯曲程度不一样，但在研究时只要取足够短的一小段，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理；并对解决生活中问题有浓厚的兴趣，但对于向心力来源，向心力由谁来提供，还比较模糊，学生常常误以为是圆周运动产生了向心力，向心力是一种特殊的力，是做圆周运动的物体另外受到的力，教学过程中要明确指出这种看法是错误的。处于高一阶段的学生，其思维习惯中形象思维占的比例还比较大，科学思维的能力有待进一步的开发和提高；对于物理学科特定的研究方法和分析方法已有了一定的了解，但还不是非常的熟练，有待进一步地培养。教学目标根据物理学科的核心素养，制定了如下的教学目标：（一）物理观念1、使学生理解建筑工程上关于修铁路、修公路、修桥梁与圆周运动的联系；2、车转弯时，路的外侧要高于内侧，且对速度有限制；（二）科学思维通过向心力在具体问题中的应用，体会圆周运动的奥妙，激发学生学习物理知识的兴趣，培养学生学科学、懂科学、用科学，将物理知识应用于生活和生产实践的意识。（三）实验探究提出物理问题，形成猜想和假设，获取和处理信息，基于证据得出结论做出解释，以及对实验探究过程和结果进行交流、评估、反思的能力。(四）科学态度与责任通过一些交通事故的解释，发展将物理知识应用于生活和生产实践的意识使学生明白，作为建筑施工工程师的重大责任，严谨科学态度的重要性，使学生建立学习物理的责任感和自豪感。教学重点难点【教学重点】用牛顿第二定律求解生活中的圆周运动【教学难点】正确认识向心力的来源教学策略与方法由于本节课是一节生活中的应用课，所以我主要是以教师启发、引导的方式，创设情景，实验探究和理论探究相结合，让学生自主学习，交流、表达和归纳规律。在教学手段方面，充分用“智慧课堂”的理念，利用多媒体辅助教学，主要是ppt演示文稿、图片，视频，并用同屏技术展示演示实验的过程，使抽象的知识能够形象具体，吸引学生的注意。让学生积极参与、主动探索、独立思考、分组讨论，找寻规律和解决问题的思路方法。通过展示图片、视频创设情境、演示实验，以提问的方式引导学生展开问题的讨论，并归纳总结出结论。过程中体现“教师为主导，学生为主体”的教育思想。
教学环节教学内容设计意图活动目标信息技术使用及分析课前预热播放精彩视频表演“环球飞车”揭发学生的兴趣，回顾旧知学生回忆前知，圆周运动和向心力相关知识视频播放新课导入在进入新课前，我会先放一段视频，这段视频中包括了生活中比较常见的圆周运动的例子如转动的摩天轮、转弯的火车、过拱桥的汽车、杂技水流星等。在此基础上提出问题：这些物体的运动能看做圆周运动吗？以此引发学生进行思考。在学生分组交流讨论的基础上，教师引导学生得出结论，进入本节课的学习。播放视频《生活中的圆周运动》通过播放学生感兴趣视频，让学生观察思考、激发学生的求知欲，在观看视频的过程中引入新课，水平面内的圆周运动——火车转弯，以及竖直面上的非匀速圆周运动——拱形桥和凹形桥。观察思考、激发学生的求知欲视频播放新课教学1、火车在轨道上行驶为什么不掉下来？展示铁轨和车轮的图片2、火车在水平轨道上匀速转弯时受哪些力的作用？火车转弯的向心力由谁来提供？3、高速行驶的火车的轮缘与铁轨挤压的后果会怎样?（播放火车翻车的视频）4、（以提问的方式利用同屏技术把问题发布到学生机上）为了避免火车在水平轨道转弯速度过快会造成翻车事故，火车轨道应如何改造，才能解决这一实际问题?假设你是一位从事铁路设计的工程师，你认为火车提速有必要对铁路拐弯处进行改造吗？应如何改造？5（展示拱形桥和凹形桥图片）公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥时，也可以看做圆周运动。那么是什么力提供汽车的向心力呢？6、（以提问的方式利用同屏技术把问题发布到学生机上）分析汽车通过拱形桥最高点时汽车对桥面的压力，并让学生试着解释当汽车速度不断增大时会发生什么现象？7、（利用同屏技术将演示实验投屏到大屏上）演示水流星和物体在水平转台上随转台转动，逐渐增大转速，让学生观察学生对于火车轨道及火车轮子结构不是很了解，通过图片让学生更加直观的对火车轨道的结构及火车轮子的结构有一定的了解，就能解释火车在轨道上行使不掉下来的原因。让学生自主探究火车在水平轨道转弯时向心力的来源。探究不难发现，火车在水平轨道转弯时向心力来源于外轨对火车轮缘的侧向挤压继续引导学生思考，火车在水平轨道转弯速度过快会造成翻车事故，引入问题5，让学生讨论如何去改进火车轨道的结构？通过教师的点拨，学生的讨论与思考，最后得到结论：可将火车外轨与内轨呈现一定的高度差，并且当火车所受重力及支持力的合力恰好提供向心力时，可以有效避免火车内外轨道受到挤压。引入生活中的事例，提高学生学习的兴趣引入生活中的事例，提高学生学习的兴趣引入生活中的事例，引出离心运动的概念观察思考、激发学生的求知欲学生观看视频，思考火车翻车的原因学生分组讨论，设计方案，提交到教师机上观察思考学生分析，把答案提交到教师机上学生观察总结采用平板上放大镜技术放大图片视频播放利用同屏技术把问题发布到学生机上，学生把方案提交上传，师生共同分析图片展示利用同屏技术把问题发布到学生机上，学生把方案提交上传，师生共同分析利用同屏技术将演示实验投屏到大屏上课堂针对训练以提问的方式利用同屏技术把练习发布到学生机上能够快速的知道学生对知识的掌握情况，及时的对学生做出评价学生分析，把答案提交到教师机上利用同屏技术把问题发布到学生机上，学生把方案提交上传，课堂小结教学反思本节课我认真研读了教材，查阅了大量资料，从网上搜索了一些与教学有关的资源，包括视频、图片、习题等，我认为我能够有效利用多媒体课件给学生展示视频与图片，利于学生直观了解，同时课容量增大；在处理不宜理解的火车拐弯中的向心力分析问题上能够分层次逐步渗透设计思想，更符合学生掌握知识的客观规律；在处理竖直面上的圆周运动时能够分类讨论，演示实验验证，做到点滴不漏；整个教学过程中不仅注重物理观念、科学思维，也注重了学生情感、科学态度与责任的形成。做到因材施教，真正的实现以学生为中心的教学，为学生的长远发展负责，使物理教学更好的为生活生产服务。

七、数学重要资料

相信熟记以下基本知识点，你一定会旗开得胜！
1、一元二次方程求根公式：
2、a+b、a-b、ab、a2+b2（知二求二）
3、用点的坐标表示线段长：一定要加绝对值
若已知两点A、B的坐标：则AB=右-左、AB=上-下
见坐标、想代入；
见坐标、作垂直（向x轴、y轴作垂直）横平竖直
4、1）双曲线与直线y=±x的交点，到原点距离最近
2）直线y1和双曲线y2
①当y1y2时，cx0或xm
②
③
=
3)已知范围过原点，所求范围：或
已知范围不过原点，所求范围：两边夹
4)函数增减性：反比例函数、二次函数后面没括号，说增减性，一定错，有括号不一定对。二次函数增减性，看对称轴和a的性质：a0时，离对称轴越近，函数值越小，a0时，离对称轴越近，函数值越大（一定要画草图）
5、角平分线+平行→等腰
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3
∴AB=AD
6、线段的中垂线：
见线段的中垂线，作中垂线上的点到线段两端点的距离，则这两个距离相等
7、等腰三角形：
1）等腰三角形两种分类方法：
ⅰ、分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形
若求顶角，则两顶角互补；若求底角，则两底角互余
ⅱ、△ABC是等腰三角形：①AB=AC②BA=BC③CA=CB
工具：用圆规
2）黄金等腰三角形：
△ABC∽△BCD
8、直角三角形：
常用勾股数：
3、4、5；6、8、10；9、12、15
12、16、20；15、20、25；5、12、13
8、15、17；7、24、25注意勾股比的应用
9、相似：
1）等等等?
∵∠1+90°=∠2+90°
∴∠1=∠2
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
2）母子相似图（知二求四）
∠1=∠C、∠2=∠B
在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC
∴BA2=BD·BC、DA2=DB·DC、CA2=CD·CB、AB·AC=BC·AD
10、四边形：熟记所有定义、性质、判定
1）平行四边形为中心对称图形，
等腰三角形（等边三角形）为轴对称图形
等腰梯形为轴对称图形
矩形、菱形、正方形既轴对称也中心对称
任意多边形外角和均为360°
2）等腰梯形：上底=腰，加下列中的
任意一个，则可得到其他结论
BC=2AD，∠A=120°，∠ABC=60°
BD⊥CD，BD平分∠ABC
3）等腰梯形：对角线互相垂直
S梯形ABCD=S△DBE=
4）中点四边形：
原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形
原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形
原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
5）菱形：加对角线，小直角大等腰，特别注意两邻角分别为60°、120°和30°、150°的情况
当∠BAD=60°时，AB=BD，BD：AC=1：
菱形面积S=AB·DE=
当∠BAD=30°时，则DE=
6）矩形：加对角线，小等腰大直角
7）直角梯形：常用辅助线：作高
11、解直角三角形：
1）已知30°的对边求邻边：×
已知30°的对边求斜边：×2
已知30°的邻边求对边：÷
已知30°的邻边求斜边：÷×2
已知斜边求30°的对边：÷2
已知斜边求30°的邻边：÷2×
2）已知直角边求斜边：×
已知斜边求直角边：÷
3）
4）已知腰求底：×
已知底求腰：÷
5）特殊角三角函数值：
sin30°=cos30°=tan30°=
sin45°=cos45°=tan45°=1
sin60°=cos60°=tan60°=
6）正弦：
余弦：=
正切：tan
7)已知一边、一个三角函数：设k法
8）注意转化角的应用
12、在直线l上找一点P使它到已知两点A、B距离之和最小（A、B在直线ｌ同侧）
方法：作出点A关于直线l的对称点C，
连接BC交直线l于P，则点P即为所求
此时，BC即为PA+PB的最小值
或在直线l上找一点P使它到已知两点
A、B距离之差最大（A、B在直线ｌ两侧）
方法同上，BC即为PB－PA的最大值
13、分类：
1）见等腰，想分类
2）见高，想分类
3）相似中的分类
以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似
4）四边形中的分类
以A、B、C、D为顶点的四边形

八、数学常用公式大全

高中数学常用公式大全
1.元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.
4.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
5.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：（可画图解决问题）
(1)当a0时，若，则；
，，.
(2)当a0时，若，则，若，则，.
7.真值表
ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假
8.常见结论的否定形式
原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或
9.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题
若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ
10.充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
11.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
12.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。
15.几个函数方程的周期(约定a0)，则的周期T=a；
16.分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
17．根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，；当为偶数时，.
18．有理指数幂的运算性质
(1).
(2).
(3).
注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
19.指数式与对数式的互化式
.
20.对数的换底公式
(,且,,且,).
推论(,且,,且,,).
21．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2);
(3).
22.数列的同项公式与前n项的和的关系
(数列的前n项的和为).
23.等差数列的通项公式；
其前n项和公式为.
24.等比数列的通项公式；
其前n项的和公式为或.
25.同角三角函数的基本关系式
，=，
27.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
28.和角与差角公式
;
;
.
=
(辅助角所在象限由点的象限决定,).
29.二倍角公式
.
.
.
30.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
31.正弦定理.
32.余弦定理
;;.
33.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
34.三角形内角和定理
在△ABC中，有
sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)
35.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
36.向量的数量积的运算律：
(1)a·b=b·a（交换律）;
(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;
(3)（a+b）·c=a·c+b·c.
37.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
38．向量平行的坐标表示
设a=,b=，且b0，则ab(b0).
39.a与b的数量积(或内积)
a·b=abcosθ．
40.a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积．
41.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
42.两向量的夹角公式
(a=,b=).
43.平面两点间的距离公式
=
(A，B).
44.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
Abb=λa.
ab(a0)a·b=0.
45.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
46.三角形四“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
47.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）.
48.均值定理
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
49.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
50.含有绝对值的不等式
当a0时，有
.
或.
51.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;
52..斜率公式
（、）.
53.直线的五种方程
（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式(b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式()(、()).
(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式(其中A、B不同时为0).
54.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；
②；
55．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
56.点到直线的距离
(点,直线：).
57.或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
58.或所表示的平面区域
设曲线（），则
或所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分；
所表示的平面区域上下两部分.
59.圆的四种方程
（1）圆的标准方程.
（2）圆的一般方程(＞0).
60.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
61.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
62.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
63.椭圆的标准方程及简单的几何性质
64．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
65.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
66.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
67.抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
68.抛物线上的动点可设为P或P，其中.
69.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或AB=
（弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.
71．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
72．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
73．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
74．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
75．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
77.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．
三点共线.
、共线且不共线且不共线.
78.球的半径是R，则
其体积,
其表面积．
79．柱体、锥体的体积
（是柱体的底面积、是柱体的高）.
（是锥体的底面积、是锥体的高）.
80.互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
81.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
82.独立事件A，B同时发生的概率
P(A·B)=P(A)·P(B).
83.n个独立事件同时发生的概率
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
84.回归直线方程
，其中.
85.相关系数r
r≤1，且r越接近于1，相关程度越大；r越接近于0，相关程度越小.
86.函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
87.几种常见函数的导数
(1)（C为常数）.
(2).
(3).
(4).
(5)；.
(6);.
88.导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
89.判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
90.复数的相等
.（）
91.复数的模（或绝对值）
==.
92.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).

九、数学知识点总结——函数

一、函数的定义域的常用求法：　　1、分式的分母不等于零;　　2、偶次方根的被开方数大于等于零;　　3、对数的真数大于零;　　4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;　　5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;　　6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。　　二、函数的解析式的常用求法：　　1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法　　三、函数的值域的常用求法：　　1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法　　四、函数的最值的常用求法：　　1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法　　五、函数单调性的常用结论：　　1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数　　2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数　　3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。　　4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。　　5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。　　六、函数奇偶性的常用结论：　　1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立)　　2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。　　3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。　　4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。　　5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

十、数学分析读书笔记作文

经过一个半学期的《数学分析》的学习，我基本上对其;下面对我目前已学习的知识进行理解与分析：;一、实数集与函数;二、极限分为数列极限和函数极限;三、函数的连续性;四、导数与微分;五、积分分为两种：不定积分和定积分;整体内容连贯有序，学习者思路清晰，目的明确;数学分析是精彩有趣的，但有时会让人学的很累;(13)《数学分析》读书报告;经过一个半学期的《数学分析》的经过一个半学期的《数学分析》的学习，我基本上对其学习方法有了一定的掌握。了解到《数学分析》与高中的数学既有联系又有差别。一方面在许多思想与分析中运用了高中数学的基础知识;另一方面它将许多东西细微化，一步步探究深层次的东西。它使我们对许多东西有了进一步的了解而不是只停留在理解表面。
下面对我目前已学习的知识进行理解与分析：
一、 实数集与函数。实数分有理数和无理数，有理数可用既约分数的形式表示，而无理数则不能用一个确定式表示。人们先发现有理数，再运用Dedekind分割划分出一些不属于有理数的数。全部这些数的集合就是实数集。用同样的方法分割，却得不到非实数，这证明了实数具有完备性。关于实数完备性有一些基本定理，如：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理。对于任何一个包含于实数集的集合，还有著名的确界原理。函数的定义是一个具有某种结构的集合到一个数集的对应关系。有基本函数和特殊的函数，如：符号函数、Heaviside函数、Riemann函数和Dirichelet函数。
二、 极限分为数列极限和函数极限。对于极限，重在理解它的定义。函数极限是数列极限的推广，所以理解了数列极限，函数极限问题就不大了。收敛的数列有许多特殊性质，如:有界性、唯一性、保号保序性和迫敛性，且满足线性组合运算。既然有这么多很好的性质，我们就想弄清哪些数列收敛或收敛数列需满足的条件。人们发现，单调有界数列和满足柯西收敛准则的数列一定有极限。
三、 函数的连续性。函数在某一点X。连续的定义是在X。的某邻域内有定义且满足当X趋于X。时，函数F(X)趋于F(X。).而在某区间上的连续可由在某点推广。对一闭区间上连续的函数有一些性质，如：有界性、最值、介值性和一致连续性。对于函数连续性，重在理解定义的内容。
四、 导数与微分。导数在中学已学过，而微分是一个新概念。微分的核心思想是对一件事物，当对整体无法解决或难以解决时，可以将它分成许多细小的部分来解决。当每一部分都解决了时，整体也就解决了。对于微分的应用有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理以及泰勒公式。运用这些定理，还可以分析函数性质，如：函数是否有凸性和拐点，这些对作图是有帮助的。
五、 积分分为两种：不定积分和定积分。不定积分是微分的逆运算，它的核心思想是将许多无法解决或难以解决的事物积累成一个整体来解决。不定积分的运算有一些方法，如：换元法和分部积分法。与不定积分不同，定积分则是一个分割T的模趋于零的极限。对一个闭区间上的函数作划分，求出黎曼和，当分割的模趋于零时，黎曼和趋于一个常数，此时称这个常数为函数在闭区间上的定积分。定积分的运算可运用牛顿—莱布尼茨公式。哪些函数是可积的，可积函数有哪些性质。人们发现了可积函数需满足的条件和它的一些性质，如：积分中值定理。
整体内容连贯有序，学习者思路清晰，目的明确。
数学分析是精彩有趣的，但有时会让人学的很累。当一个概念或思想没有理解时，在很大层度上阻碍了后面内容的学习理解，让人有雾里探花的感觉。所以应脚踏实地的学好每一步，扎稳基础，相信未来的道路是光明的。
以上是小编为大家整理好的范文，希望对大家有所帮助